Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Дробные числа

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Дробные числа
Содержание статьи

Помимо натуральных чисел существуют еще дробные числа. Дробные числа, или дроби, получаются в результате деления натуральных чисел на равные части: на две, три, пять и т.д. частей.

Доли

Люди практически каждый день делят целое на части, которые называют еще долями. Чаще всего используется половина -- полдня, полчаса, полкило и т.д.

Но используется и деление на другое количество долей -- треть, четверть, десятая, сотая. Доли образуются при делении одного предмета (буханки хлеба, листа бумаги) или единицы измерения (часа, килограмма) на равные части. Доля является каждой из равных частей единицы. Называется доля в зависимости от того, на какое количество равных частей делится единица. При делении на две части доля называется «половиной», на три -- третью, на четыре -- четвертью. При делении на $5$, на $6$, $7$ частей используют названия пятая, шестая, седьмая и т.д. Также используются названия вторая, третья, четвертая доля вместо половины, трети и четверти.

Для записи долей используется горизонтальная черточка, которую называют дробной чертой. Над дробной чертой ставится единица, а под ней записывается количество равных частей, на которые разделили единицу. Например, третья, двадцатая, семьдесят третья доля записывается: $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{20}$, $\frac{1}{73}$, а читается одна третья, одна двадцатая, одна семьдесят третья. Если единицу разделили на $n$ равных частей, то записывается дробь $\frac{1}{n}$ и читается одна энная.

Замечание 1

Доли используются в случаях, когда при измерении величин невозможно обойтись только целыми единицами. Например, невозможно целыми единицами (метрами) измерить рост человека.

Дроби

Дроби получаются из долей.

Пример 1

Например, три седьмых не является ни натуральным числом, ни долей единицы. Это сумма трех одинаковых долей. Числа, которые являются долями или их суммами, называют дробными числами. Для дробных чисел используется и название дроби.

Пример 2

Например, три седьмых -- это дробь. Цифрами такая дробь запишется $\frac{3}{7}$. Дробь $\frac{3}{7}$ равна сумме трех одинаковых седьмых долей: $\frac{3}{7}=\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}$.

Определение 1

Для записи дробей используется дробная черта и два натуральные числа. Под дробной чертой записывается знаменатель дроби, который показывает, из каких долей состоит дробь. Над чертой записывается числитель дроби, который показывает, из суммы скольких долей состоит дробь.

Чаще всего используется десятичная нумерация. Название нумерации произошло от следующего правила: единица каждого разряда в $10$ раз больше единицы предыдущего разряда.

Разряд единиц является самым младшим в записи натуральных чисел. Единица предыдущего младшего разряда должна быть в $10$ раз меньше единицы каждого разряда.

Разряд десятых долей размещается правее разряда единиц и отделяется от разряда единиц запятой. Например, число $13\frac{4}{10}$ можно записать так: $13,4$, а число $2\frac{8}{10}$ запишется $2,8$.

Разряды справа от запятой могут продолжаться и для них действует правило: каждая единица разряда в $10$ раз меньше единицы предыдущего разряда: $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{100}$, $\frac{1}{1000}$ и т.д.

$1$-й разряд после запятой называется десятыми долями, $2$-й разряд после запятой -- сотыми доли, $3$-й разряд после запятой -- тысячными долями.

Записанная с помощью цифр и запятой дробь называется десятичной дробью, а записанная с помощью дробной черты дробь называется обыкновенной дробью.

Любую десятичную дробь можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Например, $214,5793=200+10+4+\frac{5}{10}+\frac{7}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{3}{10000}$.

В таблице записаны несколько первых разрядов после запятой и цифры, которые обозначают разрядные слагаемые числа $214,5793$.



Рисунок 1.

Для записи обыкновенной дроби в виде десятичной нужно числитель разделить на знаменатель.

История

Современная система записи дробей с числителем и знаменателем создана в Индии.

Индийцы использовали обыкновенные дроби. Обозначение обыкновенных дробей с помощью числителя и знаменателя принято в Индии еще в $VIII$ веке до н.э., но без дробной черты. Различие было в том, что знаменатель записывался сверху, а числитель -- снизу. Современная запись дробей стала использоваться уже арабами.

В Вавилоне использовали шестидесятеричные дроби. Знаменателями дробей были числа $60, 602, 603$ и т.д. Но не все можно было точно выразить через шестидесятеричные. Например, дробь $\frac{1}{7}$ можно было выразить только приближенно.

Шестидесятеричные дроби использовали греческие и арабские математики и астрономы. Но с натуральными числами, которые записывались в десятичной и шестидесятеричной систем было неудобно работать, тем более сложно было работать с обыкновенными дробями. Тогда голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям. Сначала их запись была очень сложной, но впоследствии стала использоваться современная запись. Сегодня в компьютерной технике используются двоичные дроби, которые ранее применялись на Руси: половина, четь, полчети, пол-полчети и т.д.

В Древнем Риме использовали двенадцатеричную систему дробей. Медная монета, а позднее единица веса -- $acc$ -- делилась на $12$ равных частей -- унций. Одна двенадцатая доля асса называется унцией. Путь, время и другие величины сравнивали с весом. Например, римляне говорили, что прошли $7$ унций пути или прочли $5$ унций книги, что означало $\frac{7}{12}$ пройденного пути и $\frac{5}{12}$ прочтенной книги.

Существовало и более мелкое дробление, чем на $12$ равных частей. Например, слово «скрупулезно» происходит от римского названия $\frac{1}{288}$ асса -- скрупулус. Использовались также названия «семис»-- половина асса, «секстанс»-- шестая часть, «семиунция»-- полунции ($\frac{1}{24}$ асса) и т.д. Всего использовалось $18$ различных названий дробей. При работе с дробями нужно было помнить таблицу их сложения и таблицу их умножения. Например, римские купцы твердо помнили, что при сложении триенса ($\frac{1}{3}$ асса) и секстанса получится семис, а при умножении беса ($\frac{2}{3}$ асса) на сескунцию($\frac{3}{2}$ унции или $\frac{1}{8}$ асса) получится унция. Для облегчения расчетов составляли специальные таблицы, некоторые из которых дошли до наших времен.

В двенадцатеричной системе не было дробей со знаменателями $10$ или $100$, поэтому римлянам было трудно делить на $10, 100$ и т. д. При делении $1001$ асса на $100$ один римский математик сначала получил $10$ ассов, потом раздробил асс на унции и т. д. Но от остатка он не избавился. Чтобы не иметь дела с такими вычислениями, римляне стали использовать проценты. Они брали с должника лихву (то есть деньги сверх того, что было дано в долг). При этом говорили: не «лихва составит $16$ сотых суммы долга», а «на каждые $100$ сестерциев долга заплатишь $16$ сестерциев лихвы». Так как слова «на сто» звучали по-латыни «про центум», то сотая часть стала называться процентом.