Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Умножение и деление натуральных чисел. Таблица умножения

Все предметы / Математика / Натуральные числа / Умножение и деление натуральных чисел. Таблица умножения

Умножение натуральных чисел

Результат умножения натуральных чисел называют их произведением. Произведение двух натуральных чисел $a$ и $b$ содержит стольких единиц, сколько их содержится в числе $a$, взятых столько раз, сколько единиц содержится в числе $b$.



Рисунок 1.

Если произведение обозначить $c$, то говорят, что оно получено в результате умножения чисел $a$ и $b$. Записывается умножение двух чисел следующим образом:

$a\cdot b=c$ или $a\times b=c$.

Числа $n$ и $m$ называют множителями или сомножителями.



Рисунок 2.

Например, найдем произведение чисел $13\cdot 5$.

По определению операции умножения:

Свойства умножения натуральных чисел

Умножение натуральных чисел характеризуется следующими свойствами:

  1. Коммутативность умножения:

    \[a\cdot b=b\cdot a.\]
  2. Ассоциативность умножения:

    \[\left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot \left(b\cdot c\right)\]
    Пример 1

    Например, найдем произведение чисел $9\cdot 15\cdot 6$.

    Применим к данному произведению свойство ассоциативности умножения:

    \[9\cdot 15\cdot 6=9\cdot \left(15\cdot 6\right)=9\cdot 90=810\]

    Из свойства ассоциативности умножения натуральных чисел выводится понятие натуральной степени натурального числа:

    Натуральное число m в степени n равно натуральному числу $k$, которое получается в результате умножения числа $m$ самого на себя $n$ раз:



    Рисунок 3.

    Для обозначения $n$-й степени числа m используют запись $m^n$, в которой число $m$ называется основанием степени, а число $n$ - показателем степени.

    Пример 2

    Например, найдем значение выражения $3^4$.

    По определению натуральной степени натурального числа данное выражение можно записать так:

    \[3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81.\]

    Получили $3^4=81$.

  3. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:

    \[\left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c.\]
  4. Закон дистрибутивности умножения относительно вычитания:

    \[\left(a-b\right)\cdot c=a\cdot c-b\cdot c.\]

    В результате нахождения суммы и произведения двух натуральных чисел всегда получится натуральное число.

  5. Свойство умножения на единицу:

    \[a\cdot 1=1\cdot a=a.\]
  6. Свойство умножения на нуль:

    \[a\cdot 0=0\cdot a=0.\]
  7. Свойство умножения нулей:

    \[0\cdot 0=0.\]
  8. Свойство умножения единиц:

    \[1\cdot 1=1.\]

    Операцию умножения натуральных чисел удобно выполнять «в столбик»:



    Рисунок 4.

Готовые работы на аналогичную тему

Деление натуральных чисел

Операция деления натуральных чисел является обратной операцией к умножению.

Результат деления натуральных чисел называют их частным.

Если $b\cdot c=a$, то



Рисунок 5.

Свойства деления натуральных чисел



Рисунок 6.

  1. Свойство деления произведения на число:

    \[\left(a\cdot b\right):c=\left(a:c\right)\cdot b,\] \[\left(a\cdot b\right):c=\left(b:c\right)\cdot a,\] \[\left(a\cdot b\right):c=a:\left(b\cdot c\right).\]
  2. Свойство деления на единицу:

    \[a:1=a.\]
  3. Свойство деления двух равных натуральных чисел:

    \[a:a=1, a\ne 0.\]
  4. Свойство деления нуля на натуральное число:

    \[0:a=0, a\ne 0.\]

    Выполнять деление двух натуральных чисел удобно методом «угла»:



    Рисунок 7.

    В результате нахождения разницы и при делении натуральных чисел натуральное число можно получить не для любой пары натуральных чисел.

    Пример 3

    Например, числа $15$ и $5$ -- натуральные. Результат вычитания $15-5=10$ также будет натуральным числом, а если найти разницу натуральных чисел $5-15=-10$, то получим число, которое уже не является натуральным.

Таблица умножения натуральных чисел

По определению произведения двух натуральных чисел можно получить результаты умножения однозначных натуральных чисел. Например, произведение $5\cdot 4$ равно сумме $4$ одинаковых слагаемых, которые равны $5$. В таком случае получаем $5\cdot 4=5+5+5+5=20$. Аналогично можно получить результат произведений всех однозначных натуральных чисел и записать их в таблицу.

Результаты произведений удобно представлять в виде так называемой таблицы умножения.



Рисунок 8.

Правила пользования таблицей умножения

Пример 4

Например, нужно найти произведение чисел $4$ и $6$. Для этого отметим столбец (выделен синим цветом), в верхней ячейке которого записано число $6$, и строку (выделена синим цветом), в левой ячейке которой записано число $4$. Результат умножения находится на пересечении отмеченных столбца и строки -- число $24$, отмеченное красным цветом.

Аналогично можно найти произведение остальных чисел, но принято знать таблицу умножения наизусть.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

оксана николаевна кузнецова

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис