Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Умножение и деление натуральных чисел. Таблица умножения

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Натуральные числа / Умножение и деление натуральных чисел. Таблица умножения
Умножение и деление натуральных чисел. Таблица умножения

Умножение натуральных чисел

Результат умножения натуральных чисел называют их произведением. Произведение двух натуральных чисел $a$ и $b$ содержит стольких единиц, сколько их содержится в числе $a$, взятых столько раз, сколько единиц содержится в числе $b$.



Рисунок 1.

Если произведение обозначить $c$, то говорят, что оно получено в результате умножения чисел $a$ и $b$. Записывается умножение двух чисел следующим образом:

$a\cdot b=c$ или $a\times b=c$.

Числа $n$ и $m$ называют множителями или сомножителями.



Рисунок 2.

Например, найдем произведение чисел $13\cdot 5$.

По определению операции умножения:

Свойства умножения натуральных чисел

Умножение натуральных чисел характеризуется следующими свойствами:

  1. Коммутативность умножения:

    \[a\cdot b=b\cdot a.\]
  2. Ассоциативность умножения:

    \[\left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot \left(b\cdot c\right)\]
    Пример 1

    Например, найдем произведение чисел $9\cdot 15\cdot 6$.

    Применим к данному произведению свойство ассоциативности умножения:

    \[9\cdot 15\cdot 6=9\cdot \left(15\cdot 6\right)=9\cdot 90=810\]

    Из свойства ассоциативности умножения натуральных чисел выводится понятие натуральной степени натурального числа:

    Натуральное число m в степени n равно натуральному числу $k$, которое получается в результате умножения числа $m$ самого на себя $n$ раз:



    Рисунок 3.

    Для обозначения $n$-й степени числа m используют запись $m^n$, в которой число $m$ называется основанием степени, а число $n$ - показателем степени.

    Пример 2

    Например, найдем значение выражения $3^4$.

    По определению натуральной степени натурального числа данное выражение можно записать так:

    \[3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81.\]

    Получили $3^4=81$.

  3. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:

    \[\left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c.\]
  4. Закон дистрибутивности умножения относительно вычитания:

    \[\left(a-b\right)\cdot c=a\cdot c-b\cdot c.\]

    В результате нахождения суммы и произведения двух натуральных чисел всегда получится натуральное число.

  5. Свойство умножения на единицу:

    \[a\cdot 1=1\cdot a=a.\]
  6. Свойство умножения на нуль:

    \[a\cdot 0=0\cdot a=0.\]
  7. Свойство умножения нулей:

    \[0\cdot 0=0.\]
  8. Свойство умножения единиц:

    \[1\cdot 1=1.\]

    Операцию умножения натуральных чисел удобно выполнять «в столбик»:



    Рисунок 4.

Деление натуральных чисел

Операция деления натуральных чисел является обратной операцией к умножению.

Результат деления натуральных чисел называют их частным.

Если $b\cdot c=a$, то



Рисунок 5.

Свойства деления натуральных чисел



Рисунок 6.

  1. Свойство деления произведения на число:

    \[\left(a\cdot b\right):c=\left(a:c\right)\cdot b,\] \[\left(a\cdot b\right):c=\left(b:c\right)\cdot a,\] \[\left(a\cdot b\right):c=a:\left(b\cdot c\right).\]
  2. Свойство деления на единицу:

    \[a:1=a.\]
  3. Свойство деления двух равных натуральных чисел:

    \[a:a=1, a\ne 0.\]
  4. Свойство деления нуля на натуральное число:

    \[0:a=0, a\ne 0.\]

    Выполнять деление двух натуральных чисел удобно методом «угла»:



    Рисунок 7.

    В результате нахождения разницы и при делении натуральных чисел натуральное число можно получить не для любой пары натуральных чисел.

    Пример 3

    Например, числа $15$ и $5$ -- натуральные. Результат вычитания $15-5=10$ также будет натуральным числом, а если найти разницу натуральных чисел $5-15=-10$, то получим число, которое уже не является натуральным.

Таблица умножения натуральных чисел

По определению произведения двух натуральных чисел можно получить результаты умножения однозначных натуральных чисел. Например, произведение $5\cdot 4$ равно сумме $4$ одинаковых слагаемых, которые равны $5$. В таком случае получаем $5\cdot 4=5+5+5+5=20$. Аналогично можно получить результат произведений всех однозначных натуральных чисел и записать их в таблицу.

Результаты произведений удобно представлять в виде так называемой таблицы умножения.



Рисунок 8.

Правила пользования таблицей умножения

Пример 4

Например, нужно найти произведение чисел $4$ и $6$. Для этого отметим столбец (выделен синим цветом), в верхней ячейке которого записано число $6$, и строку (выделена синим цветом), в левой ячейке которой записано число $4$. Результат умножения находится на пересечении отмеченных столбца и строки -- число $24$, отмеченное красным цветом.

Аналогично можно найти произведение остальных чисел, но принято знать таблицу умножения наизусть.