Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Возведение в дробную степень

Все предметы / Математика / Возведение в дробную степень

Использование дробей в качестве степеней значительно упрощает жизнь по сравнению с записью выражений с помощью корней. Это связано с тем, что совершать арифметические действия с дробями легче, чем применять и помнить свойства корней. Поэтому ниже мы рассмотрим, как перейти от корней к числу в дробной степени.

Возведение в дробную степень проводится соответственно следующему правилу:

Пусть $\frac{p}{q}$ — обыкновенная дробь, причём $p$ и $q$ больше нуля и $q≠1$. Тогда для возведения числа $a$ в дробную степень необходимо извлечь из него корень $q$-ой степени и возвести в степень числителя, равную $p$.

В математической форме это тождество записывается так:

$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}, a≥0, p>0, q>1$.

Замечание 1

Следует отметить, что в случае использования в качестве записи дробной степени вместо корней есть одно важное правило. Запрещается возводить в дробную степень отрицательные числа.

Это связано с тем, что в таком случае можно прийти к невыполнимому равенству, например:

$-3=(-27)^{\frac{1}{3}}=(-27)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-27)^2}=\sqrt[6]{729}=3$.

Правило для возведения степени в степень в случае, когда показатель степени является дробным числом, выполняется также как и для обычной целой степени, то есть:

Число $a$ в дробной степени вида $\frac{p}{q}$, возведённое в степень $b$, равно числу $a$, возведённому в степень произведения дроби и числа $b$.

В математической форме это выглядит так:

$(a^{\frac{p}{q}})^b= a^{\frac{p \cdot b}{q}}$.

Замечание 2

Правило для возведения числа в дробную степень справедливо не только для обыкновенных дробей, но и для десятичных и неправильных.

В случае, если необходимо возвести число в десятичную или неправильную дробь, сначала необходимо перевести её в обычную чтобы стали видны показатели степени числа и корня.

Возведение в нецелую отрицательную степень проводится по тем же правилам, что и возведение в целую отрицательную степень, то есть:

Пусть $\frac{p}{q}$ — обыкновенная дробь и $q≠1$, а $a>0$, тогда $a^{-\frac{p}{q}}$ равно $\frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}$.

Запишем в математической форме:

$a^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}, a>0, p>0, q>1$.

Пример 1

Вычислите арифметические корни из следующих выражений:

  1. $64^{\frac{1}{6}};$
  2. $81^{\frac{3}{4}};$
  3. $0^{\frac{51}{4}}$.

Решение:

  1. $64^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{64}=2$;

  2. $81^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{81^3}=27;$

  3. $0^{\frac{51}{4}}=\sqrt[4]{0^51}=0.$

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис