Степень можно разделить на три вида. Степень с целым действительным показателем, степень с рациональным показателем, степень с иррациональным показателем.
Степень с целым действительным показателем
Степень действительного числа $a$ c целым показателем $n$ определяется формулой:
\[a^n=\left\{ \begin{array}{c}{a\cdot a\cdot \dots \cdot a\left(n\ раз\right),\ при\ n>0,} \\ {1,\ при\ n=0,} \\ {\frac{1}{a\cdot a\cdot \dots \cdot a\left(n\ раз\right)},\ при\ nСвойства:
-
$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$
-
$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
-
${(ab)}^n=a^n\cdot b^n$
-
$({a^n)}^m=a^{nm}$
-
$\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$
-
$a^n >0,\ при\ a >0$
$a^m1,\ m
$a^m >a^n,\ при\ 0
-
$a^n0$
$a^n >b^n,\ при\ 0\le a\le b,\ n
Степень с рациональным показателем
Пусть $a$ -- действительное число, а $r=\frac{m}{n}$ ($m\in {\mathbb Z}{\rm ,}{\rm \ }n\in {\mathbb N}{\rm )}$ -- несократимая дробь.\textit{}
Степень действительного числа $a$ c рациональным показателем $n$ определяется формулой:
\[a^r=\sqrt[n]{a^m}\]Здесь стоит отметить, что если $n$ -- четно, то $a >0.$
Свойства:
-
$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$
-
$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
-
${(ab)}^n=a^n\cdot b^n$
-
$({a^n)}^m=a^{nm}$
-
$\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$
Отметим, что в данном случае можно также, при необходимости, пользоваться свойствами корней:
-
$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$
-
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
-
$\sqrt[{nk}]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}$
-
$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[{nk}]{a}$
Степень с иррациональным показателем
Степень положительного числа $a$ c иррациональным показателем $\alpha $ называется выражение вида $a^{\alpha }$, значение которого определяется следующим образом:
-
Если $a=1,$ то $a^{\alpha }=1$;
-
Если $a >1,$ то под $a^{\alpha }$ понимают такое число, которое удовлетворяет неравенству $a^{r_1}\alpha $.
-
Если $0\alpha $.
Степень положительного числа $a$ c иррациональным показателем $\alpha $ называется выражение вида $a^{\alpha }$, значение которого равно пределу последовательности $a^{{\alpha }_0},\ a^{{\alpha }_1},\ a^{{\alpha }_2},\dots $, где ${\alpha }_0,\ {\alpha }_1,{\alpha }_2$ последовательные десятичные приближения иррационального числа $\alpha $.
Отметим, что если $\alpha >0$, то $0^{\alpha }=0$. Если же $\alpha
Свойства:
-
$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$
-
$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
-
${(ab)}^n=a^n\cdot b^n$
-
$({a^n)}^m=a^{nm}$
-
$\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$
Примеры задач
Найти значения выражений:
а) $2^2\cdot 2^3-\frac{3^5}{3^3}$
б) ${(2^2)}^2+\frac{8^4}{4^2}$
в) $8^{\frac{2}{3}}+0^{\pi }$
Решение:
а) Используя свойства $1$ и $2$ степени с целым показателем, получим:
\[2^2\cdot 2^3-\frac{3^5}{3^3}=2^5-3^2=32-9=23\]б) Используя свойства $2$, $4$ и $5$, получим:
в) Используя определение степени с рациональным показателем, получим:
\[8^{\frac{2}{3}}+0^{\pi }=\sqrt[3]{8^2}+0=2^2=4\]Упростить выражение:
\[\frac{x-1}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}+1}\cdot x^{\frac{1}{4}}+1\]Используя определение свойство 1 степени с рациональным показателем, получим:
\[\frac{x-1}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}+1}\cdot x^{\frac{1}{4}}+1=\frac{x-1}{x^{\frac{1}{2}}\left(x^{\frac{1}{4}}+1\right)}\cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}\left(x^{\frac{1}{4}}+1\right)}{x^{\frac{1}{2}}+1}\cdot x^{\frac{1}{4}}+1=\] \[=\frac{x-1}{x^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}+1}+1=\frac{\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)\left(x^{\frac{1}{2}}+1\right)}{x^{\frac{1}{2}}+1}+1=x^{\frac{1}{2}}-1+1=\sqrt{x}\]
