Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Степень с натуральным показателем

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Степень с натуральным показателем
Степень с натуральным показателем

Определение степени с натуральным показателем

Определение

Степенью действительного числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется число, равное произведению $n$ множителей, каждый из которых равняется числу $a$.

Определение степени с натуральным показателем

$a$ - основание степени.

$n$ - показатель степени.

Пример

$3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$

3 -- основание степени,

4 -- показатель степени.

Свойства степени с натуральным показателем

  1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются:
  2. \[a^n\cdot a^m=a^{n+m}\]
Пример

$5^2\cdot 5=5^{2+1}=5^3=125$

  1. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются:
  2. \[\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\]
Пример

$\frac{4^5}{4^2}=4^{5-2}=4^3=64$

  1. При умножении степеней с одинаковыми показателями основания можно умножать:
  2. \[{a^n\cdot b^n=(ab)}^n\]
Пример

$3^2\cdot 4^2={12}^2=144$

  1. При умножении степени в степень показатели степеней можно перемножать:
  2. \[({a^n)}^m=a^{nm}\]
Пример

${(2^6)}^2=2^{12}=4096$

  1. При делении степеней с одинаковыми показателями основания можно делить:
  2. \[\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n\]
Пример

$\frac{{12}^3}{4^3}={\left(\frac{12}{4}\right)}^3=3^3=27$

  1. Если основание степени больше нуля, то и сама степень больше нуля при любом показателе:
  2. \[a^n>0,\ при\ a>0\]
Пример

$3^3=27 > 0$

  1. Если $a > 1,\ а\ \ m \[a^m
Пример

$3^3=27,\ 3^4=81$, $27

  1. При $0 \[a^m > a^n\]
Пример

${\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27},\ {\left(\frac{1}{3}\right)}^4=\frac{1}{81}$, $\frac{1}{27}>\frac{1}{81}\to {\left(\frac{1}{3}\right)}^3>{\left(\frac{1}{3}\right)}^4$

  1. При $0\le a\le b,\ n>0$ выполняется равенство:
  2. \[a^n
Пример
$3^3=27,\ 4^3=64,\ 27

Примеры задач на использование свойств степени с натуральным показателем

Задача 1

Вычислить:

  1. $\frac{8^{16}\cdot 8^{10}}{8^{24}}$
  2. $\frac{{(-5)}^3\cdot {(-5)}^{10}}{{{(5}^3)}^3}$
  3. $\frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+{{(4}^2)}^2}$

Решение:

  1. $\frac{8^{16}\cdot 8^{10}}{8^{24}}$
  2. По свойствам 1 и 2, получим:

    \[\frac{8^{16}\cdot 8^{10}}{8^{24}}=8^{16+10-24}=8^2=64\]
  3. $\frac{{(-5)}^3\cdot {(-5)}^{10}}{{{(5}^3)}^3}$
  4. По свойствам 1 и 4, получим:

    \[\frac{{(-5)}^3\cdot {(-5)}^{10}}{{{(5}^3)}^3}=\frac{{(-5)}^{13}}{5^9}=-\frac{5^{13}}{5^9}\]

    По свойству 2, имеем:

    \[-\frac{5^{13}}{5^9}=-5^{13-9}=-5^4=-625\]
  5. $\frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+{{(4}^2)}^2}$
  6. По свойству 4, имеем:

    \[\frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+{{(4}^2)}^2}=\frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+2^8}\]

    По свойству 1, получим:

    \[\frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+2^8}=\frac{2^8\cdot 2^2+2^8\cdot 2+2^8}{2\cdot 2^8+2^8}=\frac{2^8(2^2+2+1)}{2^8(2+1)}=\frac{7}{3}\]
Задача 2

Упростить выражение:

\[{\left(\frac{a}{a-b}\right)}^5\cdot {\left(\frac{a-b}{a}\right)}^3:{\left(\frac{a}{a-b}\right)}^4\]

Решение: Используя свойство 5, имеем:

\[{\left(\frac{a}{a-b}\right)}^5\cdot {\left(\frac{a-b}{a}\right)}^3:{\left(\frac{a}{a-b}\right)}^4=\frac{a^5}{{\left(a-b\right)}^5}\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^3}{a^3}:\frac{a^4}{{\left(a-b\right)}^4}=\] \[=\frac{a^5}{{\left(a-b\right)}^5}\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^3}{a^3}\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^4}{a^4}\]

Используя свойства 1 и 2, получим:

\[\frac{a^5}{{\left(a-b\right)}^5}\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^3}{a^3}\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^4}{a^4}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{a^2}={\left(\frac{a-b}{a}\right)}^2\]