Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Формула нахождения координаты середины отрезка

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Формула нахождения координаты середины отрезка
Формула нахождения координаты середины отрезка

Начальные геометрические сведения

Понятие отрезка, как и понятие точки, прямой, луча и угла, относится к начальным геометрическим сведениям. С перечисленных понятий начинается изучение геометрии.

Под "начальными сведениями" обычно понимают нечто элементарное и простое. В понимании, возможно, это так и есть. Тем не менее, такие простые понятия часто встречаются и оказываются необходимыми не только в нашей повседневной жизни, но и в производстве, строительстве и прочих сферах нашей жизнедеятельности.

Начнём с определений.

Определение 1

Отрезок - часть прямой, ограниченная двумя точками (концами).

Если концы отрезка являются точками $A$ и $B$, то образованный отрезок записывают как $AB$ или $BA$. Такому отрезку принадлежат точки $A$ и $B$, а также все точки прямой, лежащие между этими точками.

Отрезок. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Отрезок. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Определение 2

Середина отрезка - точка отрезка, которая делит его пополам на два равных отрезка.

Если это точка $C$, то $AC=CB$.

Середина отрезка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Середина отрезка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Измерение отрезка происходит сравнением с определённым отрезком, принятым за единицу измерения. Чаще всего используют сантиметр. Если в заданном отрезке сантиметр укладывается ровно четыре раза, то это означает, что длина данного отрезка равна $4$ см.

Введём простое наблюдение. Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих отрезков.

Формула нахождения координаты середины отрезка

Формула нахождения координаты середины отрезка относится к курсу аналитической геометрии на плоскости.

Дадим определение координатам.

Определение 3

Координаты - это определённые (или упорядоченные) числа, которые показывают положение точки на плоскости, на поверхности или в пространстве.

В нашем случае, координаты отмечаются на плоскости, определённой координатными осями.

Координатная плоскость. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Координатная плоскость. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Опишем рисунок. На плоскости выбрана точка, называемая началом координат. Её обозначают буквой $O$. Через начало координат проведены две прямые (координатные оси), пересекающиеся под прямым углом, причём одна из них строго горизонтальная, а другая - вертикальная. Такое положение считается обычным. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается $OX$, вертикальная - осью ординат $OY$.

Таким образом, оси определяют плоскость $XOY$.

Координаты точек в такой системе определяются двумя числами.

Существуют разные формулы (уравнения), определяющие те или иные координаты. Обычно в курсе аналитической геометрии изучают разные формулы прямых, углов, длины отрезка и прочие.

Перейдём сразу к формуле координаты середины отрезка.

Определение 4

Если координаты точки $E(x,y)$ - это середина отрезка $M_1M_2$, то:

Формула нахождения координаты середины отрезка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Формула нахождения координаты середины отрезка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Практическая часть

Примеры из школьного курса геометрии достаточно просты. Рассмотрим несколько основных.

Для лучшего понимания, рассмотрим для начала элементарный наглядный пример.

Пример 1

Имеем рисунок:

Отрезки на плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Отрезки на плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На рисунке отрезки $AC, CD, DE, EB$ равны.

  1. Серединой каких отрезков является точка $D$?
  2. Какая точка является серединой отрезка $DB$?

Ответы:

  1. точка $D$ является серединой отрезков $AB$ и $CE$;
  2. точка $E$.

Рассмотрим другой простой пример, в котором нужно вычислить длину.

Пример 2

Точка $B$ - середина отрезка $AC$. $AB = 9$ см. Какая длина $AC$?

Так как т. $B$ делит $AC$ пополам, то $AB = BC= 9$ см. Значит, $AC = 9+9=18$ см.

Ответ: 18 см.

Прочие подобные примеры обычно идентичны и ориентированы на умение сопоставлять значения длин и их представление с алгебраическими действиями. Нередко в задачах встречаются случаи, когда сантиметр не укладывается ровное количество раз в отрезок. Тогда единицу измерения делят на равные части. В нашем случае сантиметр делится на 10 миллиметров. Отдельно измеряют остаток, сравнивая с миллиметром. Приведём пример, демонстрирующий такой случай.

Пример 3

Точка $B$ - середина отрезка $AC$. $AC = 8,4$ см. Какая длина $AB$?

Так как т. $B$ делит $AC$ пополам, то $AB = \frac{8,4}{2}$ см. Значит, $AB = 4,2$ см.

Ответ: 4,2 см.

Если в очередной задаче возникают трудности с пониманием её решения (например, нетипичные случаи с несколькими отрезками, образующими углами и прочими усложнениями), то лучше рассмотреть задачу, сделав по её условию рисунок. Наглядность способствует лучшему пониманию и более скорому нахождению решения.

Теперь решим задачи по аналитической геометрии.

Пример 4

Даны точки $T_1(7,11)$ и $T_2(1,23)$. Требуется найти координаты середины отрезка $T_1T_2$.

Абсцисса середины отрезка: $x=\frac{7+1}{2}=4$. Ордината: $y=\frac{11+23}{2}=17$.

Ответ: $(4,17)$.

Пример 5

Даны точки $T(6,-1)$ и $S(-4,-8)$. Точка $S$ - середина $TK$. Найти координаты $K$.

Подставим значения и получим уравнения:

$-4=\frac{6+x_2}{2}, -8=\frac{-1+y_2}{2}.$

Найдём координаты:

$-2=6+x_2, -4=-1+y_2; x_2=-8, y_2=-3$.

Ответ: $K(-8,-3)$.