Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Неравенства и системы неравенств с двумя неизвестными

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Решение неравенств / Неравенства и системы неравенств с двумя неизвестными

Решение неравенств с двумя неизвестными, а тем более их системы, на первый взгляд кажется сложной задачей. Рассмотрим алгоритм, с помощью которого можно легко справиться с этой задачей.

Неравенство с двумя неизвестными

Пусть имеется неравенство с двумя неизвестными вида $y $, $\le$, $\ge$).

Множество решений подобного неравенства можно изобразить на координатной плоскости. Для этого необходимо:

  1. Построить график функции y=f(x), который разобьет координатную плоскость на две разные области.
  2. Выбрать одну из этих областей и рассмотреть в ней любую точку. Проверить, выполняется ли для этой точки исходное неравенство:

    • Если неравенство выполняется, следовательно, оно выполняется и для всей области, из которой выбирали точку. Таким образом, область, в которой лежит выбранная точка и есть множеством решений неравенства.
    • Если неравенство не выполняется, то множество решений неравенства – область, в которой не лежит выбранная точка.
  3. При решении строгих неравенств границы области, которыми являются точки графика функции $y=f(x)$, не включаются в множество решений, при этом граница изображается пунктирной линией. При нестрогих неравенствах границы области включаются в множество решений неравенства, при этом граница изображается сплошной линией.

Помощь со студенческой работой на тему
Неравенства и системы неравенств с двумя неизвестными

Пример 1

Показать на графике множество точек, которое задается неравенством $xy>3$.

Решение.

  1. Построим график функции $xy=3$. Для этого разделим обе части уравнения на $х$, т.к. оно не может обращаться в нуль, что следует из уравнения (произведение числа на нуль не может равняться $3$):

    $y=\frac{3}{x}$.

    График получившейся функции – гипербола, которая разобьет координатную плоскость на 2 области: одна находится между ветвями гиперболы, а другая – за ними.

  2. Выберем из одной области любую точку, например, с координатами $(1; 2)$.

    Подставим ее координаты в неравенство:

    $xy>3$;

    $1 \cdot 2 > 3$;

    $2>3$ – неравенство неверное.

    Следовательно, точки выбранной области не являются решением данного неравенства. Таким образом, решением неравенства будет другая область, из которой точку не выбирали.

  3. Данное неравенство строгое, поэтому граничные точки, которыми являются точки графика функции y=3/x, наносятся на график пунктирной линией. Обозначим на графике множество точек, которые являются решением данного неравенства:

Система неравенств с двумя неизвестными

Рассмотрим пример решения системы неравенств с двумя неизвестными.

Пример 2

Показать на графике множество точек, которое задается системой неравенств

\[\left\{ \begin{array}{c} {x^2+y^2\le 49,} \\ {2x+y >5.} \end{array} \right..\]

Решение.

Построим графики функций, которые соответствуют данным неравенствам:

$x^2+y^2=49$ – окружность с радиусом $7$;

$2х+y=5$ – прямая.

Изображаем функцию $x^2+y^2=49$ сплошной линией, т.к. она соответствует нестрогому неравенсту, а прямую $2х+y=5$ – пунктирной.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство $x^2+y^2 \le 49$:

Возьмем точку $(5; 8)$ выше графика данной функции. Проверим справедливость неравенства:

$5^2+8^2 \le 49$,

$89≤49$ – неравенство неверно.

Следовательно, решение данного неравенства – область, в которой не лежит выбранная точка, т.е. область внутри окружности.

Второе неравенство $2x+y > 5$:

Возьмем точку $(4; 3)$ выше графика данной функции. Проверим справедливость неравенства:

$2 \cdot 4+3 > 5$,

$11 > 5$ – неравенство верно.

Следовательно, решение данного неравенства – область, в которой лежит выбранная точка, т.е. область выше прямой.

Изобразим найденные решения на координатной плоскости.

Пересечение полученных областей и является решением данной системы.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис