Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Производная от натурального логарифма х

Все предметы / Математика / Производная от натурального логарифма х

Для того чтобы высчитать, чему равна производная от натурального логарифма х (записывается как lnx, произносится как «лн икс»), вспомним, чем же он является.

Определение 1

Натуральный логарифм — это логарифм числа по основанию е, оно равно приблизительно $2,72$ и является иррациональным, применяемым во многих вычислениях.

Найдём для начала производную для логарифма с любым основанием:

$\frac{Δx}{Δy}=\frac{\log_a(x+Δx) – log_ax}{Δx}=\frac{1}{x} \cdot \frac{log_a(1+\frac{Δx}{x})}{\frac{Δx}{x}}$

Вспомним, чему равен предел функции $y=\log_a x$ при $\frac{Δx}{x} \to 0$:

$\lim_{\frac{Δx}{x} \to 0} \frac{\log_a(1+\frac{Δx}{x})}{\frac{Δx}{x}}=\log_a e$;

Подставим это выражение в полученное нами выше, в результате имеем:

$(\log_a x)’=\frac{log_ae}{x}$.

В случае с натуральным логарифмом ln x числитель обращается в единицу, следовательно, формула производной для него выглядит так:

$(\ln x)’=\frac1x$.

Пример 1

Найти производные, применив закономерности дифференцирования сложных функций:

  1. $\frac{\ln x}{7}$;

  2. $\ln10x$.

Решение:

  1. $(\frac{\ln x}{7})=\frac17 \cdot (\ln x)’=\frac{1}{7x}$;

  2. $\ln10x=\frac{1}{10x} \cdot (10x)’=\frac{1}{x}$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис