Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Числовые характеристики показательного распределения

Все предметы / Математика / Показательное распределение / Числовые характеристики показательного распределения

Напомним, что плотность показательного распределения имеет вид:



Рисунок 1.

Математическое ожидание

Математическое ожидание вычисляется по формуле:

Рассмотрим сначала неопределенный интеграл $\int{xe^{-\gamma x}dx}$

Значит:

Дисперсия

Дисперсия находится по следующей формуле:

Как было рассмотрено выше:

Значит:

Рассмотрим неопределенный интеграл $\int{x^2e^{-\gamma x}dx}$

Тогда:

Получаем:

Среднее квадратическое ожидание

Среднее квадратическое ожидание найдем по формуле

Получим:

!!! Отметим, что в случае показательного распределения значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения равны.

Примеры решения задач на нахождение числовых характеристик показательного распределения

Пример 1

Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет следующий вид:



Рисунок 2.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение.

Так как плотность имеет такой вид, то в нашем случае непрерывная случайная величина подчиняется показательному закону с коэффициентом $\gamma =0,5.$ Значит значение математического ожидания $M(X)$, дисперсии $D(X)$ и среднего квадратического отклонения $\sigma (X)$ найдем по формулам, выведенным выше:

\[M\left(X\right)=\frac{1}{0,5}=\frac{10}{5}=2\] \[D\left(X\right)=\frac{1}{{0,5}^2}=\frac{1}{0,25}=\frac{100}{25}=4\] \[\sigma \left(X\right)=M\left(X\right)=2\]
Пример 2

$96\%$ моторов автомобилей, произведенных за год, ломаются в течении первых $8000 часов$ работы. Определить среднее время безотказной работы таких моторов, дисперсию и среднее квадратическое отклонение (Распределение считать экспоненциальным).

Решение:

По определению потенциального распределения, плотность распределения имеет вид:



Рисунок 3.

Для начала необходимо найти константу $\gamma $. Из условия задачи, получаем:

\[P\left(X\ge 8000\right)=0,96.\]

Найдем $P\left(X\ge 8000\right)$:

\[P\left(X\ge 8000\right)=1-P\left(XКак нам уже известно



Рисунок 4.

Значит

\[F\left(8000\right)=1-e^{-8000\gamma }\]

Получаем уравнение:

\[1-1+e^{-8000\gamma }=0,96,\] \[e^{-8000\gamma }=0,96,\] \[-8000\gamma =ln0,96,\] \[\gamma =-\frac{ln0,96}{8000}=0,000005\]

Получаем, что плотность распределения имеет вид:



Рисунок 5.

Найдем теперь все характеристике по выше выведенным формулам.

(Отметим, что математическое ожидание -- это и есть время безотказной работы).

\[M\left(X\right)=\frac{1}{0,000005}=\frac{1000000}{5}=200000\] \[D\left(X\right)=\frac{1}{{0,000005}^2}=\frac{1}{0,000000000025}=\frac{1000000000000}{25}=4\cdot {10}^{10}\] \[\sigma \left(X\right)=M\left(X\right)=200000\]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис