Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Производные основных элементарных функций

Все предметы / Математика / Производная и дифференциал / Производные основных элементарных функций

К элементарным функциям относятся основные элементарные функции и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и суперпозиций.

Из определения производной следует следующий алгоритм вычислений:

  1. Составить приращение $\Delta $y, $\Delta $x функции
  2. \[\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]
  3. Найти частное приращение функции и аргумента
  4. \[\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]
  5. Найти предел отношения, при стремлении независимой переменной к 0
  6. \[\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]
Пример 1

Найти производную постоянной y = c

Решение. Составим приращение и найдем предел отношения

\[y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{c-c}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} 0=0\]

Ответ: Производная постоянной равна 0

Пример 2

Найти производную степенной функции y = xn (n -- целое положительное число).

Решение.

  1. Составим приращение и найдем предел отношения
  2. \[y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{(x+\Delta x)^{n} -x^{n} }{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{x^{n} +n\Delta xx^{n-1} +\frac{n(n-1)}{2!} \Delta x^{2} x^{n-2} +...+\Delta x^{n} -x^{n} }{\Delta x} =\]
  3. Упростим дробь
  4. \[\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} nx^{n-1} +\frac{n(n-1)}{2!} \Delta xx^{n-2} +...+\Delta x^{n-1} =nx^{n-1} \]

Частный вывод: Если y = x, то y` = 1.

Ответ: Производная степенной функции равна $nx_n-1$.

Пример 3

Найти производную тригонометрической функции y = sinx

Решение.

  1. Составим приращение и найдем предел отношения
  2. \[y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{2\cos (x+\frac{\Delta x}{2} )\sin x\frac{\Delta x}{2} }{\Delta x} =\]
  3. Упростим дробь
  4. \[=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \cos (x+\frac{\Delta x}{2} )\frac{\sin \frac{\Delta x}{2} }{\frac{\Delta x}{2} } =\cos x\]

    Ответ: Производная sinx = cosx

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 4

Найти производную тригонометрической функции y = cosx

Решение.

  1. Составим приращение и найдем предел отношения
  2. \[y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\cos (x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} -\frac{2\sin (x+\frac{\Delta x}{2} )\sin x\frac{\Delta x}{2} }{\Delta x} =\]
  3. Упростим дробь
  4. \[=-\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \sin (x+\frac{\Delta x}{2} )\frac{\sin \frac{\Delta x}{2} }{\frac{\Delta x}{2} } =-\sin x\]

Ответ: Производная cosx = - sinx

Пример 5

Найти производную логарифмической функции $y = logx (x > 0)$

Решение. Составим приращение и найдем предел отношения

\[y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\log (x+\Delta x)-\log x}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\log (1+\frac{\Delta x}{x} )}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{1}{x} \frac{\log (1+\frac{\Delta x}{x} )}{\frac{\Delta x}{x} } =\frac{1}{x} \]

Ответ: Производная logx = 1/x

Пример 6

Найти производную функции y = cf(x), где с -- постоянная, f(x) -- функция.

Решение.

\[y`=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{cf(x+\Delta x)-cf(x)}{\Delta x} =c\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =cf`(x)\]

Вывод: производная от производной постоянной величины на переменную равна произведению этой постоянной на производную от переменной функции. Т.е. постоянный множитель выносится за знак производной!

Пример 7

Найти производную логарифмической функции $y = log_a x$

Решение.

По свойству логарифма:

\[log_{a} x=logx\frac{1}{\log a} \]

Значит, производная равна:

\[y`=\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\log a} \]

Ответ: Производная $log_a x = 1/x * 1/log a$

Пример 8

Найти производную тригонометрической функции y = tgx

Решение.

\[y`=\left(\frac{\sin x}{\cos x} \right)`=\frac{\left(\sin x\right)`\cos x-\left(\cos x\right)`\sin x}{\cos ^{2} x} =\frac{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} =\frac{1}{\cos ^{2} x} \]

Ответ: Производная $tgx = 1/cos^2 x$

Пример 9

Найти производную тригонометрической функции y = ctgx

Решение.

\[y`=\left(\frac{\cos x}{\sin x} \right)`=\frac{\left(\cos x\right)`\sin x-\left(\sin x\right)`\cos x}{\sin ^{2} x} =\frac{-\sin ^{2} x-\cos ^{2} x}{\cos ^{2} x} =-\frac{1}{\sin ^{2} x} \]

Ответ: Производная $ctgx = -1/sin^2 x$

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис