Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Вычислить первообразную сложной функции

Теоретическая часть

Понятие первообразной функции актуально в механике. Проблема нахождения функции по некоторой определённой производной этой же функции является задачей первообразной. Поэтому будем считать, что задачи по нахождению производных функций уже известны. Обычно понятие первообразной разбирают в рамках вопроса нахождения определённого интеграла.

Определение 1

Первообразная функция $F(x)$ или просто первообразная является таковой, если в любой точке $x$ из некоторого замкнутого интервала $X=(a,b)$ на числовом множестве (или на бесконечной прямой) $F(x)$ дифференцируема и $F'(x)=f(x)$.

Если известны основные элементарные производные, то задача нахождения первообразной разрешима.

Если $C$ - любая постоянная величина (константа), то $F(x)+C$ - тоже первообразная для $f(x)$. Это означает, что у функции имеется бесконечное множество первообразных, которые отличны друг от друга на постоянную величину, потому что производная от $C$ равна нулю. Графически первообразные одной функции будут представлять собой одинаковую кривую с параллельным сдвигом относительно друг друга в направлении оси ординат.

Две любые первообразные одной функции могут отличаться только на постоянное слагаемое. То есть $F_1(x)-F_2(x)=C$.

Неопределённый интеграл от какой-либо функции представляет общий вид (выражение) всех её первообразных. Заметим, что первообразная и неопределённый интеграл существуют только для непрерывных функций на заданном промежутке.

Найти общее выражение первообразных представляется возможным, если решить неопределённый интеграл от заданной функции.

Практическая часть

«Вычислить первообразную сложной функции» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Для интегрирования сложных функций существует специальный способ - способ замены переменных.

Рассмотрим примеры. Будем пользоваться таблицей неопределённых интегралов.

Таблица неопределённых интегралов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Таблица неопределённых интегралов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 1

Имеется функция

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Введём замену. Пусть $t=ax$. Тогда:

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 2

Дана функция

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Произведём замену $t=x^2+a^2$. Тогда

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 3

Имеется

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Сделаем замену $t=\sin x$.

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 7. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 4

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 8. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Замена $t=x^2$.

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 9. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Воспользуйся нейросетью от Автор24
Не понимаешь, как писать работу?
Попробовать ИИ
Дата последнего обновления статьи: 13.05.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot