Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Вычислить первообразную сложной функции

Все предметы / Математика / Вычислить первообразную сложной функции
Содержание статьи

Теоретическая часть

Понятие первообразной функции актуально в механике. Проблема нахождения функции по некоторой определённой производной этой же функции является задачей первообразной. Поэтому будем считать, что задачи по нахождению производных функций уже известны. Обычно понятие первообразной разбирают в рамках вопроса нахождения определённого интеграла.

Определение 1

Первообразная функция $F(x)$ или просто первообразная является таковой, если в любой точке $x$ из некоторого замкнутого интервала $X=(a,b)$ на числовом множестве (или на бесконечной прямой) $F(x)$ дифференцируема и $F'(x)=f(x)$.

Если известны основные элементарные производные, то задача нахождения первообразной разрешима.

Если $C$ - любая постоянная величина (константа), то $F(x)+C$ - тоже первообразная для $f(x)$. Это означает, что у функции имеется бесконечное множество первообразных, которые отличны друг от друга на постоянную величину, потому что производная от $C$ равна нулю. Графически первообразные одной функции будут представлять собой одинаковую кривую с параллельным сдвигом относительно друг друга в направлении оси ординат.

Теорема 1

Две любые первообразные одной функции могут отличаться только на постоянное слагаемое. То есть $F_1(x)-F_2(x)=C$.

Неопределённый интеграл от какой-либо функции представляет общий вид (выражение) всех её первообразных. Заметим, что первообразная и неопределённый интеграл существуют только для непрерывных функций на заданном промежутке.

Найти общее выражение первообразных представляется возможным, если решить неопределённый интеграл от заданной функции.

Практическая часть

Готовые работы на аналогичную тему

Для интегрирования сложных функций существует специальный способ - способ замены переменных.

Рассмотрим примеры. Будем пользоваться таблицей неопределённых интегралов.

Таблица неопределённых интегралов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Таблица неопределённых интегралов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 1

Имеется функция

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Введём замену. Пусть $t=ax$. Тогда:

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 2

Дана функция

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Произведём замену $t=x^2+a^2$. Тогда

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 3

Имеется

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Сделаем замену $t=\sin x$.

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 7. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 4

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 8. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Замена $t=x^2$.

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 9. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис