Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Производная от arctg x

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Производная от arctg x
Производная от arctg x

Суть и понятие производной

Производная является одним из ключевых понятий математического анализа. Производные используются в решении различных математических и специальных задачах. Поэтому важно корректно и своевременно усвоить это понятие.

Необходимость в производной возникла, когда проводились вычисления скорости и ускорения движущегося тела. Из курса физики известно, что средняя скорость вычисляется по формуле $v_{ср}=\frac{s}{t}$, где s - это весь путь, а t - промежуток времени, за которой пройден весь путь. Очевидно, что величина $v_{ср}$ не показывает, как движение изменялось в разных промежутках времени. Для вычисления мгновенной скорости, ввели понятие предела. Чтобы вычислить среднюю скорость изменения функции за всё время движения применяют понятие производной.

Дадим определение производной. Напомним, что в $y=f(x)$, $ x$ - это свободная переменная, называемая аргументом, а $y$ - зависимая переменная, называемая функцией.

Готовые работы на аналогичную тему

Определение 1

Производная функции $y=f(x_0)$ в т. $(x_0)$ равна пределу отношения приращения функции в т. $(x_0)$ к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Производную записывают как: $y', f'(x_0), \frac {dy}{dx}$. Все эти обозначения используются в разных разделах математической теории.

Понятие производной: $y'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Разберёмся с определением производной, а именно, как с её помощью вычисляется средняя скорость изменения функции за всё время движения.

$\Delta y$ (приращение функции) означает выбранную часть пути.

$\Delta x$, то есть приращение аргумента, означает всё время общего пути (от $x_0$ до $x_0+\Delta x$). Не будет ошибкой в рамках курса физики вместо $x$ записывать $t$, что привычнее при обозначении времени.

Нахождение производной от арктангенс x

Определение 2

Формула производной элементарной функции $\arctan x$ : $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$

Рассмотрим пример решения производной функции с арктангенс x.

Пример 1

Требуется найти $y'$ функции $y=\arcsin x+\arccos x+\arctan x$.

Решение. Для нахождения этой производной необходимо вспомнить некоторые основные формулы:

$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$;

$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Приступаем к подстановке.

$y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{1+x^2}$.

Мы нашли производную заданной функции.

Таким образом, мы разобрались с понятием производной и нахождением производной от $\arctan x$.