Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Интеграл от cosx

Содержание статьи

В курсе математического анализа присутствуют задания, в которых требуется уметь интегрировать. Интегралы имеют ряд свойств и методов интегрирования. Также необходимо знать табличные интегралы. С помощью табличных интегралов выражаются интегралы от более сложных функций через элементарные функции.

Интеграл от cosx

Интеграл от $\cos x$ получается непосредственно из табличной производной элементарной функции $(\cos x)'=-\sin x$ и является табличным интегралом.

Определение 1

Табличный интеграл от косинус $x$:

$\int {\cos x dx}=\sin x+C$.

Табличные интегралы используются в вычислении неопределённых и определённых интегралов разными методами.

Примеры вычислений

Рассмотрим примеры решения неопределённого и определённого интегралов.

Пример 1

$\int {\frac{\cos^3x+1}{1+\cos x}dx}.$

Для решения нужно вспомнить:

  1. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$;
  2. $\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$;
  3. свойства интегралов.

$\int {\frac{\cos^3x+1}{1+\cos x}dx} = \int{\frac{(\cos x+1)(\cos^2x-\cos x+1)}{1+\cos x}dx}=\int{(\frac{1+\cos2x}{2}-\cos x+1)dx}=\int{(\frac{3}{2}+\frac{\cos2x}{2}-\cos x)dx}=\frac{3x}{2}+\frac{\sin2x}{4}-\sin x+C.$

Пример 2

$\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos xdx.$

Известно, что определённые интегралы находятся по формуле $\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a).$

$\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos xdx=\sin \frac{\pi}{2}-\sin \frac{\pi}{6}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$

Рассмотрим пример интегрирования с применением подстановки.

Пример 3

$\int \sin^3 x \cos^3xdx.$

Применим подстановку $\sin x=t, \cos xdx=dt; \cos^2x=1-t^2$:

$\int t^3(1-t^2)dt=\int(t^3-t^5)dt=\frac{t^4}{4}-\frac{t^6}{6}+C=\frac{sin^4x}{4}-\frac{sin^6x}{6}+C.$

Навык корректного интегрирования приходит с практикой самостоятельного решения примеров.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

оксана николаевна кузнецова

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис