Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Внесение множителя под знак корня

Все предметы / Математика / Внесение множителя под знак корня

Внесение числа под знак корня — арифметическая операция, полезная при необходимости сравнения нескольких чисел, каждое из которых находится под знаком корня. Также операция занесения числа под знак корня необходима для получения более точного ответа, так как в случае умножения приближённого числа, полученного после извлечения корня, на множитель, стоящий перед знаком корня, ошибка увеличивается на значение этого множителя.

Для того чтобы разобраться в том, как совершать операцию внесения множителя под знак корня, вспомним необходимые правила и определения, которые могут пригодиться для этого.

Арифметические действия, используемые для внесения множителя под корень

Определение 1

Сочетательный закон умножения

Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей заменить их произведением: $(xz)y=z(xy)$

Определение 2

Распределительный закон умножения по отношению к сложению

Для умножения суммы нескольких чисел на какое-либо число необходимо умножить каждое слагаемое на это число, а затем полученные произведения сложить между собой:

$(x+z)y = xy + zy$

Также освежим в памяти определение корня.

Определение 3

Корень $n$-ой степени из числа $m$ — это число, при возведении которого в $n$-нную степень получается число $m$. Получение числа $m$ называется извлечением корня n-нной степени. Если $n=2$ — то корень называется квадратным.

Рассмотрим для примера равенство $\sqrt[3]\frac{8}{27}= ±\frac{2}{3}$. Число, написанное над корнем слева, в данном случае это тройка, называется степенью (показателем) корня, число, стоящее под знаком корня — подкоренным выражением, левая часть равенства целиком называется радикалом, а правая — значением корня.

Готовые работы на аналогичную тему

Правила внесения множителя под знак корня

Теперь непосредственно рассмотрим, что же такое внесение множителя под знак корня.

Внесением множителя под знак корня называют операцию возведения в $n$-нную степень множителя, стоящего перед знаком корня, и последующей его записью в подкоренном выражении, например: $a \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{b \cdot a^n}\left(1\right)$.

Использование операции внесения числа под знак корня возможно благодаря следующему свойству корня:

При извлечении корня из произведения можно сначала извлечь его из каждого из множителей и затем перемножить полученные значения:

$\sqrt[n]{xyz} = \sqrt[n]{x}\cdot \sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}$

Так как равенство соблюдается всегда в обе стороны, вышеизложенное свойство можно использовать для внесения множителя под знак корня.

Соответственно, для того чтобы воспользоваться правилом $(1)$ в случае если подкоренное выражение является суммой, необходимо возвести в степень корня множитель, стоящий перед радикалом, и затем домножить множитель в степени на каждое из слагаемых:

$x \cdot \sqrt[n]{z + y} = \sqrt[n]{z x^n+ yx^n}$

Если же подкоренное выражение является произведением, то при занесении множителя под знак корня вносимый множитель после возведения в степень корня можно поставить на любое место:

$x \cdot \sqrt[n]{z \cdot y} = \sqrt[n]{z \cdot y \cdot x^n} =\sqrt[n]{x^n \cdot z \cdot y}$

Пример 1

Внесите множитель под знак корня в следующих выражениях:

$3^3\sqrt[3]{2}; b^2a^3\sqrt{7};a^3\sqrt[4]{\frac{1}{5}}; 3 \sqrt[4]{x^2 + y^2}$.

  1. $3^3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3] \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{54}$.
  2. $b^2a^3\sqrt{7} = \sqrt{b^4} \sqrt{a^6} \sqrt7 = \sqrt{7b^4a^6}$.
  3. $a^3\sqrt[4]{\frac{1}{5}} = \sqrt[4]{a^{12}} \sqrt[4]{\frac{1}{5}} = \sqrt[4]{\frac{a^{12}}{5}}$
  4. $3 \sqrt[4]{x^2 + y^2} = \sqrt[4]{243} \sqrt[4]{x^2 + y^2} = \sqrt[4]{243 \cdot(x^2 + y^2)}$
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис