Внесение числа под знак корня — арифметическая операция, полезная при необходимости сравнения нескольких чисел, каждое из которых находится под знаком корня. Также операция занесения числа под знак корня необходима для получения более точного ответа, так как в случае умножения приближённого числа, полученного после извлечения корня, на множитель, стоящий перед знаком корня, ошибка увеличивается на значение этого множителя.
Для того чтобы разобраться в том, как совершать операцию внесения множителя под знак корня, вспомним необходимые правила и определения, которые могут пригодиться для этого.
Арифметические действия, используемые для внесения множителя под корень
Сочетательный закон умножения
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей заменить их произведением: $(xz)y=z(xy)$
Распределительный закон умножения по отношению к сложению
Для умножения суммы нескольких чисел на какое-либо число необходимо умножить каждое слагаемое на это число, а затем полученные произведения сложить между собой:
$(x+z)y = xy + zy$
Также освежим в памяти определение корня.
Корень $n$-ой степени из числа $m$ — это число, при возведении которого в $n$-нную степень получается число $m$. Получение числа $m$ называется извлечением корня n-нной степени. Если $n=2$ — то корень называется квадратным.
Рассмотрим для примера равенство $\sqrt[3]\frac{8}{27}= ±\frac{2}{3}$. Число, написанное над корнем слева, в данном случае это тройка, называется степенью (показателем) корня, число, стоящее под знаком корня — подкоренным выражением, левая часть равенства целиком называется радикалом, а правая — значением корня.
Правила внесения множителя под знак корня
Теперь непосредственно рассмотрим, что же такое внесение множителя под знак корня.
Внесением множителя под знак корня называют операцию возведения в $n$-нную степень множителя, стоящего перед знаком корня, и последующей его записью в подкоренном выражении, например: $a \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{b \cdot a^n}\left(1\right)$.
Использование операции внесения числа под знак корня возможно благодаря следующему свойству корня:
При извлечении корня из произведения можно сначала извлечь его из каждого из множителей и затем перемножить полученные значения:
$\sqrt[n]{xyz} = \sqrt[n]{x}\cdot \sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}$
Так как равенство соблюдается всегда в обе стороны, вышеизложенное свойство можно использовать для внесения множителя под знак корня.
Соответственно, для того чтобы воспользоваться правилом $(1)$ в случае если подкоренное выражение является суммой, необходимо возвести в степень корня множитель, стоящий перед радикалом, и затем домножить множитель в степени на каждое из слагаемых:
$x \cdot \sqrt[n]{z + y} = \sqrt[n]{z x^n+ yx^n}$
Если же подкоренное выражение является произведением, то при занесении множителя под знак корня вносимый множитель после возведения в степень корня можно поставить на любое место:
$x \cdot \sqrt[n]{z \cdot y} = \sqrt[n]{z \cdot y \cdot x^n} =\sqrt[n]{x^n \cdot z \cdot y}$
Внесите множитель под знак корня в следующих выражениях:
$3^3\sqrt[3]{2}; b^2a^3\sqrt{7};a^3\sqrt[4]{\frac{1}{5}}; 3 \sqrt[4]{x^2 + y^2}$.
- $3^3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3] \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{54}$.
- $b^2a^3\sqrt{7} = \sqrt{b^4} \sqrt{a^6} \sqrt7 = \sqrt{7b^4a^6}$.
- $a^3\sqrt[4]{\frac{1}{5}} = \sqrt[4]{a^{12}} \sqrt[4]{\frac{1}{5}} = \sqrt[4]{\frac{a^{12}}{5}}$
- $3 \sqrt[4]{x^2 + y^2} = \sqrt[4]{243} \sqrt[4]{x^2 + y^2} = \sqrt[4]{243 \cdot(x^2 + y^2)}$
