Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Тригонометрическая форма комплексного числа

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Комплексные числа и многочлены / Тригонометрическая форма комплексного числа
Определение 1
Выражение вида $z=a+bi$ , где $a$ и $b$ - вещественные числа, а $i$ - «мнимая единица», называется комплексным числом $z$. Мнимая единица определяется равенством $i=\sqrt{-1}$ или $i^2=-1$ .
Рассмотрим некоторую точку $M(a,b)$ комплексной плоскости. Введем полярную систему координат следующим образом:
  • полюс полярной системы координат будет совпадать с началом координат комплексной плоскости, т.е. точкой $O(0;0)$;
  • полярная ось будет совпадать с положительным направлением оси $Ox$ .

Обозначим полярные координаты рассматриваемой точки М через $r$ и $\varphi$,

где $r \ge 0$ (рис. 1).

Обозначим полярные координаты рассматриваемой точки

Рис. 1

Связь координат двух систем задается следующими равенствами:

$a=r \cos \varphi $, $b=r \sin \varphi $

Подставим приведенные выше равенства в запись заданного комплексного числа в виде $z=a+bi$ и получим

$$z=r \cos \varphi + i \cdot r \sin \varphi$$

или

$$z=r(\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi)$$
Определение 2

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r(\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi)$ называется тригонометрической формой записи, при этом число $r$ - модуль данного комплексного числа $z$ , $\varphi$ - аргумент данного комплексного числа $z$ .

Модуль некоторого комплексного числа вычисляется по следующей формуле:

$z=|z|=|a+bi|=\sqrt {a^2+b^2}$.

Аргумент $\varphi$ некоторого комплексного числа $z=a+bi$ можно вычислить, используя следующие формулы:

$$\varphi = tg \frac{b}{a}; \cos \varphi = \frac {a} {\sqrt {a^2+b^2}}; \sin \varphi = \frac {b} {\sqrt {a^2+b^2}}$$

На практике для вычисления значения аргумента заданного комплексного числа $z=a+bi$ обычно пользуются формулой:

$$ \varphi = arg z = \begin{equation*} \begin{cases} arctg \frac {b}{a}, a \ge 0, (*) \\ arctg \frac{b} {a} + \pi, a или решают систему уравнений $$ \begin{equation*} \begin{cases} cos \varphi = \frac {a} {\sqrt {a^2+b^2}}, (**) \\ sin \varphi = \frac {b} {\sqrt {a^2+b^2}} \end{cases} \end{equation*}$$

Готовые работы на аналогичную тему

Примечание 1

Аргумент вещественных чисел равен соответственно:

  • 0 для положительного числа;
  • $\pi$ для отрицательного числа.
Примечание 2

Аргумент чисто мнимых чисел равен соответственно:

  • $ \frac {\pi}{2} $ с положительной мнимой частью;
  • $ \frac {3\pi}{2} $ с отрицательной мнимой частью.
  • Примечание 3

    Аргумент некоторого комплексного числа $z$ считается:

  • положительным $( \varphi >0)$ при отсчете против часовой стрелки от положительного направления оси $Ox$;
  • отрицательным $( \varphi
  • Примечание 4

    Аргумент некоторого комплексного числа $z$ определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого $2 \pi k$, где $k \in Z$.

    Пример 1
    Представить в тригонометрической форме заданные комплексные числа, для которых: 1) $r=0, \varphi=5 \pi$ ; 2) $r=10, \varphi= \frac {\pi}{2}$ ; 3) $r= \sqrt {2}, \varphi =- \frac {\pi} {3}$ ; 4) $r=3, \varphi = 0$.

    Решение:

    Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(cos \varphi + i \cdot sin \varphi)$.

    Для $r=0, \varphi=5 \pi$ получаем комплексное число $z=0 \cdot (cos5 \pi + i \cdot sin 5 \pi)$.

    Для $r=10, \varphi = \frac {\pi}{2}$ получаем комплексное число $z=10 \cdot (cos \frac {\pi}{2} + i \cdot sin \frac {\pi} {2}$.

    Для $r= \sqrt {2}, \varphi=- \frac {\pi}{3}$ получаем комплексное число $z= \sqrt {2} \cdot (cos (- \frac {\pi}{3}) + i \cdot (- \frac {\pi}{3}))$.

    Для $r=3, \varphi=0$ получаем комплексное число $z=3 \cdot (cos0+i \cdot sin0)$.

    Определение 3

    Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

    • $a$ - вещественная (действительная) часть, обозначение Re$z=a$;
    • $b$ - мнимая часть, обозначение Im $z=b$.
    Алгоритм 1

    Чтобы комплексное число $z$, записанное в алгебраической форме, привести к тригонометрической форме записи, необходимо выполнить следующее:

    • вычислить модуль и аргумент;
    • подставить полученные значения в выражение $z=r(cos \varphi + i \cdot sin \varphi)$.
    Пример 2

    Представить заданные комплексные числа в тригонометрической форме:

    1) $z=3+0$ ; 2) $Z= \frac {1}{2} + \frac {1}{2} \cdot i$.

    Решение:

    Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(cos \varphi + i \cdot sin \varphi)$.

    1) По условию $a=3, b=0$.

    Вычислим модуль исходного комплексного числа: $$ r= \sqrt {3^2 + 0^2}=3$$

    Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

    $$ \varphi = artg z = arctg \frac {0}{3} = arctg0 = 0$$

    Подставим полученные значения и получим:

    $$z=3 \cdot (cos0+isin0)$$

    Следовательно, $z=3 \cdot (cos0+isin0)$ - искомая запись комплексного числа.

    2) По условию $a= \frac {1}{2}, b= \frac {1}{2}$

    Вычислим модуль исходного комплексного числа:

    $$r= \sqrt {\frac {1}{2}^2 + \frac {1}{2}^2} = \sqrt \frac {1}{4}+{1}{4}=\frac {1}{2}= \frac {\sqrt {2}}{2}$$

    Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

    $$ \varphi = arg z = arctg \frac {1/2}{1/2} = arctgl = \frac {\pi}{4}$$

    Подставим полученные значения и получим:

    $$z=\frac {\sqrt {2}}{2} \cdot (cos \frac {pi}{4}+isin \frac {\pi}{4})$$

    Следовательно, $z=\frac {\sqrt {2}}{2} \cdot (cos \frac {pi}{4}+isin \frac {\pi}{4})$ - искомая запись комплексного числа.

    Определение 4

    Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r \cdot e^{i \varphi}$ называется показательной формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt {a^2+b^2}$, $\varphi$ - аргумент комплексного числа $z$ , определяемый по формуле $\varphi = arctg \frac {b}{a}$ .

    Алгоритм 2

    Чтобы комплексное число $z$, записанное в показательной форме, привести к тригонометрической форме записи, необходимо выполнить следующее:

    • определить из показательной записи числа значения модуля и аргумента;
    • подставить полученные значения в выражение $z=r(cos \varphi + i \cdot \varphi)$.
    Пример 3

    Представить заданные комплексные числа в тригонометрической форме:

    1) $z=3 \cdot e^{\frac {\pi}{3}i}$ ; 2) $z=6 \cdot e^{\pi \cdot i}$.

    Решение:

    Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(cos \varphi + i \cdot sin \varphi)$.

    1) Определим значения модуля и аргумента: $r=3, \varphi = \frac {\pi}{3}$.

    Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=3 \cdot (cos \frac {\pi}{3} + i sin \frac {\pi}{3})$.

    2) Определим значения модуля и аргумента: $r=6, \varphi = \pi$.

    Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=6 \cdot (cos \pi + i sin \pi)$.

    Вывод

    Таким образом, можно сделать вывод о том, что в каком бы виде не было записано комплексное число $z$, его всегда можно представить в тригонометрической форме записи $z=r \cdot (cos \varphi + i sin \varphi)$.

    Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
    Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
    как работает сервис