Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Модуль и аргумент комплексного числа

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Комплексные числа и многочлены / Модуль и аргумент комплексного числа
Модуль и аргумент комплексного числа
Определение 1

Длина радиус-вектора, который изображает заданное комплексное число $z=a+bi$, называется модулем данного комплексного числа.

Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:

\[r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } .\]
Пример 1

Вычислить модуль заданных комплексных чисел $z_{1} =13,\, \, z_{2} =4i,\, \, \, z_{3} =4+3i$.

Решение:

Модуль комплексного числа $z=a+bi$ вычислим по формуле: $r=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $.

Для исходного комплексного числа $z_{1} =13$ получим $r_{1} =|z_{1} |=|13+0i|=\sqrt{13^{2} +0^{2} } =\sqrt{169} =13$

Для исходного комплексного числа $\, z_{2} =4i$ получим $r_{2} =|z_{2} |=|0+4i|=\sqrt{0^{2} +4^{2} } =\sqrt{16} =4$

Для исходного комплексного числа $\, z_{3} =4+3i$ получим $r_{3} =|z_{3} |=|4+3i|=\sqrt{4^{2} +3^{2} } =\sqrt{16+9} =\sqrt{25} =5$

Определение 2

Угол $\varphi $, образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором $\overrightarrow{OM} $, который соответствует заданному комплексному числу $z=a+bi$, называется аргументом данного числа и обозначается $\arg z$.

Примечание 1

Модуль и аргумент заданного комплексного числа в явном виде используются при представлении комплексного числа в тригонометрической или показательной форме:

  • $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ - тригонометрическая форма;
  • $z=r\cdot e^{i\varphi } $ - показательная форма.
Пример 2

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах, заданное следующими данными: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac{3\pi }{4} $.

Решение:

1) Подставим данные $r=3;\varphi =\pi $ в соответствующие формулы и получим:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi )$ - тригонометрическая форма

$z=3\cdot e^{i\pi } $ - показательная форма.

2) Подставим данные $r=13;\varphi =\frac{3\pi }{4} $ в соответствующие формулы и получим:

$z=13\cdot (\cos \frac{3\pi }{4} +i\sin \frac{3\pi }{4} )$ - тригонометрическая форма

$z=13\cdot e^{i\frac{3\pi }{4} } $ - показательная форма.

Пример 3

Определить модуль и аргумент заданных комплексных чисел:

1) $z=\sqrt{2} \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi )$; 2) $z=\frac{5}{3} \cdot (\cos \frac{2\pi }{3} +i\sin \frac{2\pi }{3} )$; 3) $z=\sqrt{13} \cdot e^{i\frac{3\pi }{4} } $; 4) $z=13\cdot e^{i\pi } $.

Решение:

Модуль и аргумент найдем, используя формулы записи заданного комплексного числа в тригонометрической и показательной формах соответственно

\[z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi );\] \[z=r\cdot e^{i\varphi } .\]

1) Для исходного комплексного числа $z=\sqrt{2} \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi )$ получим $r=\sqrt{2} ;\varphi =2\pi $.

2) Для исходного комплексного числа $z=\frac{5}{3} \cdot (\cos \frac{2\pi }{3} +i\sin \frac{2\pi }{3} )$ получим $r=\frac{5}{3} ;\varphi =\frac{2\pi }{3} $.

3) Для исходного комплексного числа $z=\sqrt{13} \cdot e^{i\frac{3\pi }{4} } $ получим $r=\sqrt{13} ;\varphi =\frac{3\pi }{4} $.

4) Для исходного комплексного числа $z=13\cdot e^{i\pi } $ получим $r=13;\varphi =\pi $.

Аргумент $\varphi $ заданного комплексного числа $z=a+bi$ можно вычислить, используя следующие формулы:

\[\varphi =tg\frac{b}{a} ;\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } ;\sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } .\]

На практике для вычисления значения аргумента заданного комплексного числа $z=a+bi$ обычно пользуются формулой:

$\varphi =\arg z=\left\{\begin{array}{c} {arctg\frac{b}{a} ,a\ge 0} \\ {arctg\frac{b}{a} +\pi ,a

или решают систему уравнений

$\left\{\begin{array}{c} {\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } } \\ {\sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } } \end{array}\right. $. (**)

Пример 4

Вычислить аргумент заданных комплексных чисел: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Решение:

1) $z=3$

Так как $z=3$, то $a=3,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{0}{3} =arctg0=0.\]

2) $z=4i$

Так как $z=4i$, то $a=0,b=4$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{4}{0} =arctg(\infty )=\frac{\pi }{2} .\]

3) $z=1+i$.

Так как $z=1+i$, то $a=1,b=1$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, решая систему (**):

\[\left\{\begin{array}{c} {\cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{1^{2} +1^{2} } } =\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \varphi =\frac{1}{\sqrt{1^{2} +1^{2} } } =\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right. .\]

Из курса тригонометрии известно, что $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac{\sqrt{2} }{2} $ для угла, соответствующего первой координатной четверти и равного $\varphi =\frac{\pi }{4} $.

4) $z=-5$

Так как $z=-5$, то $a=-5,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{0}{-5} +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

5) $z=-2i$

Так как $z=-2i$, то $a=0,b=-2$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{-2}{0} =arctg(-\infty )=\frac{3\pi }{2} .\]
Примечание 2

Аргумент вещественных чисел равен соответственно:

  • 0 для положительного числа;
  • $\pi $ для отрицательного числа.
Примечание 3

Аргумент чисто мнимых чисел равен соответственно:

  • $\frac{\pi }{2} $ с положительной мнимой частью;
  • $\frac{3\pi }{2} $ с отрицательной мнимой частью.
Пример 5

Определить модуль и аргумент комплексных чисел, изображенных на комплексной плоскости (рис.)

Определить модуль и аргумент комплексных чисел

Решение:

Число $z_{1} $ изображено точкой $(3;0)$, следовательно, длина радиус-вектора равна 3, т.е. $r=3$, а аргумент $\varphi =0$ по примечанию 2.

Число $z_{2} $ изображено точкой $(-2;0)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 2, т.е. $r=2$, а аргумент $\varphi =\pi $ по примечанию 2.

Число $z_{3} $ изображено точкой $(0;1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $\varphi =\frac{\pi }{2} $ по примечанию 3.

Число $z_{4} $ изображено точкой $(0;-1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $\varphi =\frac{3\pi }{2} $ по примечанию 3.

Число $z_{5} $ изображено точкой $(2;2)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна $\sqrt{2^{2} +2^{2} } =\sqrt{4+4} =\sqrt{8} =2\sqrt{2} $, т.е. $r=2\sqrt{2} $, а аргумент $\varphi =\frac{\pi }{4} $ по свойству прямоугольного треугольника.