Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Простые и составные числа, разложение на множители

8-800-775-03-30 support@author24.ru

Простые и составные числа

Определение 1

Простыми числами являются целые числа, которые больше единицы и имеют только $2$ положительных делителя (само себя и $1$).

Определение 2

Составными числами являются целые числа, которые больше единицы и имеют не менее трех положительных делителей.

Замечание 1

Отметим, что число 1 – ни простое, ни составное. У единицы лишь один положительный делитель – это само число $1$.

Т.к. целыми положительными числами являются натуральные числа, а у единицы только один положительный делитель, то можно сформулировать следующие определения простых и составных чисел.

Определение 3

Простыми числами называются натуральные числа, у которых только $2$ положительных делителя.

Определение 4

Составными числами называются натуральные числа, у которых больше двух положительных делителей.

Пример 1

Примером простых чисел являются числа $2$, $7$, $11$, $17$, $19$, $29$, $131$, $523$. Для данных чисел невозможно подобрать какой-нибудь положительный делитель, который отличается от единицы и самого этого числа.

Пример 2

Примером составных чисел являются числа $8$, $51$, $100$. У числа $8$ кроме положительных делителей $1$ и $8$ есть делители $2$ и $4$, т.к. $8=2\cdot 4$, поэтому $8$ является составным числом.

У числа $51$ есть положительные делители $1$, $3$, $17$ и $51$. Число $100$ имеет положительные делители $1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50$ и $100$.

Любое составное число может быть разложено на $2$ множителя, больших $1$.

Пример 3

Например, $9=3\cdot 3$, $36=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$, $66=2\cdot 3\cdot 11$ и т.д.

Замечание 2

Простое число на $2$ множителя, больших $1$, разложить нельзя.

Замечание 3

Существует таблица простых чисел, которую используют для удобства дальнейшего использования простых чисел.

Разложение чисел на простые множители

Замечание 4

Любое составное число может быть разложено на простые множители.

Если не учитывать порядок записи множителей, то в любом случае получится одно и то же разложение.

Замечание 5

Алгоритм разложения на простые множители:

  1. Проверить, не является ли число простым.
  2. Подобрать делитель из простых чисел, начиная с наименьшего $(2, 3, 5, …)$, пользуясь признаками деления.
  3. Повторять пункт $2$ до тех пор, пока частное не станет простым числом.
Пример 4

Число $96$ разложить на простые множители.

Решение.

Используем алгоритм разложения на простые множители:

  1. Число $96$ не является простым.
  2. Число $96$ делится на $2$, т.к. заканчивается на цифру $6$:

    $96\div 2=48$

    Число $48$ делится на $2$, т.к. заканчивается на цифру $8$:

    $48\div 2=24$

    Число $24$ делится на $2$, т.к. заканчивается на цифру $4$:

    $24\div 2=12$

    Число $12$ делится на $2$, т.к. заканчивается на цифру $2$:

    $12\div 2=6$

    Число $6$ делится на $2$:

    $6\div 2=3$

    Число $3$ делится на $3$:

    $3\div 3=1$

    Делителей больше $1$ нет.

Ответ: $96=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$.

Пример 5

Число $1230$ разложить на простые множители.

Решение.

Используем алгоритм разложения на простые множители:

  1. Число $1230$ не является простым.
  2. Число $1230$ делится на $2$, т.к. заканчивается на цифру $0$:

    $1230\div 2=615$

    Число $615$ делится на $5$, т.к. заканчивается на цифру $5$:

    $615\div 5=123$

    Число $123$ делится на $3$ по признаку деления на $3$:

    $123\div 3=41$

    Число $41$ является простым.

    Делителей больше $1$ нет.

Ответ: $1230=2\cdot 3\cdot 5\cdot 41$.

Пример 6

Число $840$ разложить на простые множители.

Решение.

Используем алгоритм разложения на простые множители:

  1. Число $840$ не является простым.
  2. Число $840$ делится на $2$, т.к. заканчивается на цифру $0$:

    $840\div 2=420$

    Число $420$ делится на $2$, т.к. заканчивается на цифру $0$:

    $420\div 2=210$

    Число $210$ делится на $2$, т.к. заканчивается на цифру $0$:

    $210\div 2=105$

    Число $105$ заканчивается на цифру $5$, следовательно делится на $5$, но т.к. сумма цифр числа $105$ равна $1+0+5=6$, которое делится на $3$, следовательно делится и на $3$.

    Поскольку по алгоритму нужно подбирать делитель, начиная с наименьшего, то в данном случае выбираем делитель $3$:

    $105\div 3=35$

    Число $35$ делится на $5$, т.к. заканчивается на цифру $5$:

    $35\div 5=7$

    Число $7$ является простым.

    Делителей больше $1$ нет.

Ответ: $840=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис