Простые и составные числа
Простыми числами являются целые числа, которые больше единицы и имеют только $2$ положительных делителя (само себя и $1$).
Составными числами являются целые числа, которые больше единицы и имеют не менее трех положительных делителей.
Отметим, что число 1 – ни простое, ни составное. У единицы лишь один положительный делитель – это само число $1$.
Т.к. целыми положительными числами являются натуральные числа, а у единицы только один положительный делитель, то можно сформулировать следующие определения простых и составных чисел.
Простыми числами называются натуральные числа, у которых только $2$ положительных делителя.
Составными числами называются натуральные числа, у которых больше двух положительных делителей.
Примером простых чисел являются числа $2$, $7$, $11$, $17$, $19$, $29$, $131$, $523$. Для данных чисел невозможно подобрать какой-нибудь положительный делитель, который отличается от единицы и самого этого числа.
Примером составных чисел являются числа $8$, $51$, $100$. У числа $8$ кроме положительных делителей $1$ и $8$ есть делители $2$ и $4$, т.к. $8=2\cdot 4$, поэтому $8$ является составным числом.
У числа $51$ есть положительные делители $1$, $3$, $17$ и $51$. Число $100$ имеет положительные делители $1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50$ и $100$.
Любое составное число может быть разложено на $2$ множителя, больших $1$.
Например, $9=3\cdot 3$, $36=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$, $66=2\cdot 3\cdot 11$ и т.д.
Простое число на $2$ множителя, больших $1$, разложить нельзя.
Существует таблица простых чисел, которую используют для удобства дальнейшего использования простых чисел.
Разложение чисел на простые множители
Любое составное число может быть разложено на простые множители.
Если не учитывать порядок записи множителей, то в любом случае получится одно и то же разложение.
Алгоритм разложения на простые множители:
- Проверить, не является ли число простым.
- Подобрать делитель из простых чисел, начиная с наименьшего $(2, 3, 5, …)$, пользуясь признаками деления.
- Повторять пункт $2$ до тех пор, пока частное не станет простым числом.
Число $96$ разложить на простые множители.
Решение.
Используем алгоритм разложения на простые множители:
- Число $96$ не является простым.
-
Число $96$ делится на $2$, т.к. заканчивается на цифру $6$:
$96\div 2=48$
Число $48$ делится на $2$, т.к. заканчивается на цифру $8$:
$48\div 2=24$
Число $24$ делится на $2$, т.к. заканчивается на цифру $4$:
$24\div 2=12$
Число $12$ делится на $2$, т.к. заканчивается на цифру $2$:
$12\div 2=6$
Число $6$ делится на $2$:
$6\div 2=3$
Число $3$ делится на $3$:
$3\div 3=1$
Делителей больше $1$ нет.
Ответ: $96=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$.
Число $1230$ разложить на простые множители.
Решение.
Используем алгоритм разложения на простые множители:
- Число $1230$ не является простым.
-
Число $1230$ делится на $2$, т.к. заканчивается на цифру $0$:
$1230\div 2=615$
Число $615$ делится на $5$, т.к. заканчивается на цифру $5$:
$615\div 5=123$
Число $123$ делится на $3$ по признаку деления на $3$:
$123\div 3=41$
Число $41$ является простым.
Делителей больше $1$ нет.
Ответ: $1230=2\cdot 3\cdot 5\cdot 41$.
Число $840$ разложить на простые множители.
Решение.
Используем алгоритм разложения на простые множители:
- Число $840$ не является простым.
-
Число $840$ делится на $2$, т.к. заканчивается на цифру $0$:
$840\div 2=420$
Число $420$ делится на $2$, т.к. заканчивается на цифру $0$:
$420\div 2=210$
Число $210$ делится на $2$, т.к. заканчивается на цифру $0$:
$210\div 2=105$
Число $105$ заканчивается на цифру $5$, следовательно делится на $5$, но т.к. сумма цифр числа $105$ равна $1+0+5=6$, которое делится на $3$, следовательно делится и на $3$.
Поскольку по алгоритму нужно подбирать делитель, начиная с наименьшего, то в данном случае выбираем делитель $3$:
$105\div 3=35$
Число $35$ делится на $5$, т.к. заканчивается на цифру $5$:
$35\div 5=7$
Число $7$ является простым.
Делителей больше $1$ нет.
Ответ: $840=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$.
