Справочник от Автор24
Все самое важное в приложении

Правильные многоугольники

Понятие правильного многоугольника

Определение 1

Правильный многоугольник -- выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны между собой (Рис. 1).

Правильные многоугольники

Рисунок 1. Правильные многоугольники

Как мы знаем, сумма углов многоугольника находится по формуле$(n-2)\cdot {180}^0$

Значит, градусная мера одного угла правильного многоугольника равняется

Теорема об описанной около правильного многоугольника окружности

Теорема 1

Около любого правильного многоугольника можно описать единственную окружность.

Доказательство.

Существование. Пусть нам дан правильный многоугольник $A_1A_2A_3\dots A_n$. Пусть биссектрисы углов $A_1\ и\ A_2$ пересекаются в точке $O$. Соединим с этой точкой все остальные вершины правильного многоугольника (Рис. 2).

Научись программировать
Получи навыки для отличной карьеры в IT под руководством ведущих экспертов
Выбрать занятия

Описанная вокруг правильного многоугольника окружность

Рисунок 2. Описанная вокруг правильного многоугольника окружность

Так как углы $A_1\ и\ A_2$ равны и $A_1O\ и\ A_2O$ -- биссектрисы, то угол $OA_1A_2$ равен углу $O{A_2A}_1$. Следовательно, треугольник $OA_1A_2$ равнобедренный, и, значит, $A_1O=A_2O$.

Так как $A_1A_2=A_2A_3$, $\angle O{A_2A}_1=\angle O{A_2A}_3$ и сторона $A_2O$ - общая, то треугольники $O{A_2A}_1$ и $O{A_2A}_3$ равны. Следовательно, $OA_2=OA_3$.

Аналогично доказывают другие равенства. В результате, будем иметь

То есть точка $O$ равноудалена от всех вершин многоугольника, а, значит, точка $O$ - центр описанной вокруг правильного многоугольника окружности.

Единственность. Рассмотрим три вершины многоугольника. Очевидно, что через них проходит только одна окружность, следовательно, вокруг правильного многоугольника можно описать только одну окружность.

«Правильные многоугольники» 👇
Готовые курсовые работы и рефераты
Купить от 250 ₽
Консультации эксперта по предмету
Найти эксперта
Помощь в написании учебной работы
Узнать стоимость

Теорема доказана.

Теорема вписанной в правильный многоугольник окружности

Теорема 2

В любой правильный многоугольник можно вписать единственную окружность.

Доказательство.

Пусть нам дан правильный многоугольник $A_1A_2A_3\dots A_n$. Пусть точка $O$ - центр описанной вокруг данного многоугольника окружности (Рис. 3).

Вписанная в правильный многоугольник окружность

Рисунок 3. Вписанная в правильный многоугольник окружность

Так как углы $A_1\ и\ A_2$ равны и $A_1O\ и\ A_2O$ -- биссектрисы, то угол $OA_1A_2$ равен углу $O{A_2A}_1$. Следовательно, треугольник $OA_1A_2$ равнобедренный, и, значит, $A_1O=A_2O$.

Так как $A_1A_2=A_2A_3$, $\angle O{A_2A}_1=\angle O{A_2A}_3$ и сторона $A_2O$ - общая, то треугольники $O{A_2A}_1$ и $O{A_2A}_3$ равны.

Аналогично доказывается равенство других треугольников. То есть, мы получим

Значит и высоты этих треугольников равны между собой

Тогда окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным ${OH}_1$ проходит через точки $H_1,\ H_2,\dots ,H_n$, то есть касается всех сторон данного многоугольника. Следовательно. Является вписанной для правильного многоугольника.

Единственность. Предположим противное. Пусть существует еще одна вписанная в этот многоугольник окружность. Обозначим её центр $O'$. Тогда $O'$ равноудалена от всех сторон многоугольника, а значит лежит в точке пересечения биссектрис его углов. Но тогда точка $O'$ совпадает с точкой $O$ и, следовательно, эти окружности также совпадают.

Теорема доказана.

Из этих двух теорем можно сформулировать следующие следствия:

Следствие 1: Вписанная в правильный многоугольник окружность касается его в серединах его сторон.

Следствие 2: Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в этот же правильный многоугольник. Этот центр называется центром правильного многоугольника.

Формулы для правильного многоугольника

Дадим теперь несколько формул, относящихся к понятию правильного многоугольника (без их вывода).

Введем следующие обозначения. Пусть $S$ -- площадь правильного многоугольника, $P$ -- периметр правильного многоугольника, $a$ - сторона правильного многоугольника, $r$ - радиус вписанной в правильный многоугольник окружности, $R$ - радиус описанной около правильного многоугольника окружности. Тогда

Пример задачи на понятие правильного многоугольника

Пример 1

Чему равна сумма внешних углов правильного $n$-угольника. Если при каждой вершине взят только один внешний угол.

Решение.

Очевидно, что все внешние углы будут равны между собой и их количество равно $n$. Найдем один из них. Внешний угол $\beta $ многоугольника будет смежным с внутренним углом многоугольника. Используя формулу нахождения угла правильного $n$-угольника $\alpha =\frac{{180}^0(n-2)}{n}$, получим

\[\beta ={180}^0-\frac{{180}^0(n-2)}{n}={180}^0\left(1-\frac{n-2}{n}\right)=\frac{{360}^0}{n}\]

Значит, сумма всех внешних углов равна

\[\frac{{360}^0}{n}\cdot n={360}^0\]

Ответ: ${360}^0.$

Не нашел нужную статью?
Воспользуйся новым поиском!
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 15.04.2022
Трудности с учебой
Трудности с написанием работы?

Эксперты на Автор24 помогут сделать любую учебную работу!

Попробуй бесплатный инструмент для оформления работы по ГОСТу «ДокСтандарт»

Загрузи учебную работу и получи отформатированную версию всего через 30 секунд

Попробовать
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot