Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Соотношения между сторонами и углами треугольника

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Соотношения между сторонами и углами треугольника

Введем сначала определение треугольника.

Определение 1

Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех отрезков, вершинами которых являются три точки, не лежащие на одной прямой (рис. 1).

Отрезки называются при этом сторонами треугольника, а концы отрезков - вершинами треугольника.

Треугольник

Рисунок 1. Треугольник

Сумма углов треугольника

Рассмотрим теорему о сумме углов треугольника.

Теорема 1

Сумма углов любого треугольника равна ${180}^0.$

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Докажем, что сумма его углов равна ${180}^0$. Построим прямую $a||AC$ (рис. 2)

Иллюстрация теоремы 1

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Так как $a||AC$, то $\angle A=\angle ACD,\ \angle B=\angle BCE$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущих $AC$ и $BC$, соответственно.

Так как $\angle DCE$ -- развернутый, то он равен ${180}^0$.

Получаем

То есть

Теорема доказана.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

Перед тем, как ввести следующую теорему, введем понятие внешнего угла треугольника.

Определение 2

Внешний угол треугольника -- угол, смежный с углом треугольника (рис. 3).

Введем теорему о внешнем угле треугольника:

Теорема 2

Внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним углов треугольника.

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Рассмотрим внешний угол треугольника $\angle BCD$ (рис. 3).

Внешний угол треугольника

Рисунок 3. Внешний угол треугольника

По теореме 1 $\angle A+\angle C+\angle B={180}^0$, то есть $\angle C={180}^0-(\angle A+\angle B)$.

С другой стороны

Теорема доказана.

Теорема 3

В любом треугольнике:

  1. Против большей стороны лежит больший угол.

  2. Против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство.

  1. Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$, такой, что сторона $AB>AC$. Докажем, что угол $\angle C>\angle B$.

    Построим на стороне $AB$ отрезок $AD=AC$ (рис. 4).

    Иллюстрация теоремы 3

    Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 3

    Очевидно, что отрезок $CD$ лежит внутри треугольника $ABC$. Угол $ADC$ - внешний угол треугольника $BDC$, следовательно, по теореме 2, $\angle ADC >\angle B$. Так как $AD=AC$, то треугольник $DCA$ - равнобедренный. Следовательно, $\angle ADC=\angle DCA$, значит $\angle DCA>\angle B$. Получаем

    \[\angle C >\angle DCA >\angle B\]
  2. Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$, такой, что $\angle C>\angle B$. Докажем, что $AB>AC$.

    Предположим противное, что $\ AB\le AC$. Рассмотрим два случая:

    • $AB

    Тогда по первому пункту этой теоремы $\angle B >\angle C$. Противоречие.

    • $AB=AC$.

    Тогда треугольник $ABC$ равнобедренный, и, следовательно, $\angle B=\angle C$. Противоречие.

    Значит $AB >AC$.

Теорема доказана.

Неравенство треугольника

Теорема 4

Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Докажем, что$AB

Иллюстрация теоремы 4

Рисунок 5. Иллюстрация теоремы 4

Так как $CD=BC$, то треугольник $BCD$ равнобедренный, следовательно, $\angle CBD=\angle D$. Тогда $\angle ABD >\angle D$. Значит $AD >AB$. Так как

То

Теорема доказана.

Пример задачи на соотношение между сторонами и углами треугольника

Пример 1

Сравнить стороны треугольника $ABC$, если $\angle A

Решение.

Для решения используем второй пункт теоремы 3.

Получим, что

\[BC
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис