Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Подобные треугольники / Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника
Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Будем рассматривать прямоугольный треугольник $ABC$ c прямым углом $C$ (рис. 1).

Прямоугольный треугольник

Рисунок 1. Прямоугольный треугольник

Будем рассматривать угол $A$. Тогда катет $BC$ будет называться противолежащим катетом, а катет $AC$ прилежащим к углу $A$.

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Введем определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Определение 1

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе данного треугольника.

Определение 2

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе данного треугольника.

Определение 3

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету данного треугольника.

Определение 4

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету данного треугольника.

То есть, имеем:

Из формул (1) и (2) очевидно, что

Проверим теперь следующее тождество:

Подставим формулы (1) и (2), получим

Из теоремы Пифагора мы знаем, что ${BC}^2+{AC}^2={AB}^2$, следовательно

Тождество (5) называется основным тригонометрическим тождеством.

Основные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника

Вычислим значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для ${30}^{{}^\circ },\ {45}^{{}^\circ }$ и ${60}^{{}^\circ }$. Для этого вспомним следующую теорему.

Теорема 1

Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в ${30}^{{}^\circ }$, равняется половине гипотенузы этого треугольника.

Пусть для начала у нас $\angle A={30}^{{}^\circ }$. Так как треугольник прямоугольный, то $\angle B={60}^{{}^\circ }$.

По теореме 1, имеем $AB=2BC$.

Используя основное тригонометрическое тождество (5), получим:

Теперь нетрудно найти тангенсы и котангенсы этих углов.

Пусть теперь $\angle A={45}^{{}^\circ }$. Тогда $\angle B={45}^{{}^\circ }$, то есть прямоугольный треугольник -- равнобедренный. По теореме Пифагора ${BC}^2+{AC}^2={AB}^2$, следовательно, ${AB}^2={2BC}^2=2{AC}^2$, то есть

Тогда

Сведем все полученные данные в таблицу (таблица 1).

Основные значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Рисунок 2. Основные значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Пример задачи на нахождение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Пример 1

Найти значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла $A$, если $AB=5,\ BC=4,\ AC=3.$

Решение.

Все решение задачи будем производить с помощью определений 1-4. Получим:

\[sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}=0,8\] \[cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}=0,6\] \[tgA=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\] \[ctgA=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}=0,75\]