Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Теорема Пифагора

Предварительные сведения

Для начала введем сведения и обозначения, которые будут необходимы нам в дальнейшем.

Будем рассматривать прямоугольный треугольник $ABC$ с длинами катетов, равными $BC=a$ и $AC=b$ и длиной гипотенузы, равной $AB=c$ (рис. 1).



Рисунок 1.

Введем без доказательств теоремы о площади квадрата и треугольника.

Теорема 1

Площадь квадрата определяется как квадрат длины его стороны, то есть

\[S=a^2\]
Теорема 2

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть

\[S=\frac{1}{2}ah\]

Теорема Пифагора

Теперь введем и докажем теорему, которая носит название теоремы Пифагора.

Теорема 3

Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равняется квадрату гипотенузы этого треугольника.

Математически это можно записать следующим образом:

\[a^2+b^2=c^2\]

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник с обозначениями, как на рисунке 1. Достроим его до квадрата со стороной, равной $a+b$ (рис. 2).



Рисунок 2.

Этот квадрат состоит из четырех равных исходному прямоугольных треугольника и квадрата, со стороной $c$.

Площадь $S$ этого квадрата, по теореме 1, равняется

\[S={(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2\]

а площадь $S''$ «малого» квадрата равняется

\[S''=c^2\]

По теореме 2, площадь прямоугольного треугольника $S'$ равняется

\[S'=\frac{1}{2}ab\]

По основному свойству площади многоугольника получим

\[S=S^{''}+4S'\] \[a^2+2ab+b^2=c^2+2ab\] \[a^2+b^2=c^2\]

Теорема доказана.

Готовые работы на аналогичную тему

Теорема, обратная теореме Пифагора

Теорема 4

Если в произвольном треугольнике со сторонами $a,\ b,\ c$ (где $c$ - большая сторона) выполняется равенство

\[a^2+b^2=c^2\]

то этот треугольник будет прямоугольным.

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник с обозначениями, как на рисунке 1. Построим прямоугольный треугольник $A'B'C'$ с прямым углом $C$ так, что $A'C'=AC,\ B'C'=BC$. Применяя теорему Пифагора, получим

\[{(A'B')}^2={(A'C')}^2+{(B'C')}^2\] \[{(A'B')}^2=a^2+b^2\]

Следовательно, ${(A'B')}^2={AB}^2,\ \ значит\ AB=A'B'$.

По $III$ признаку равенства треугольников

\[\triangle ABC=\triangle A'B'C'\]

Значит, угол $C$ прямой и треугольник $ABC$ прямоугольный.

Теорема доказана.

Примеры задач

Пример 1

Найти основание равнобедренного прямоугольного треугольника, если его боковая сторона равняется $8$ см.

Решение.

Обозначим основание треугольника через $x$.

Так как треугольник является прямоугольным, то для нахождения основания воспользуемся теоремой Пифагора (теорема 3). Получим

\[x^2=8^2+8^2\] \[x^2=64+64\] \[x^2=128\] \[x=\sqrt{128}=8\sqrt{2}\]

Ответ: $8\sqrt{2}$.

Пример 2

Дан треугольник со следующими сторонами:

а) $5, 12, 13$.

б) $6, 5, 4$.

в) $3, 4, 5$.

Найти среди них прямоугольные.

Решение.

Для решения будем пользоваться теоремой. Обратной теореме Пифагора (теорема 4), подставляя значения в равенство $a^2+b^2=c^2$ и проверяя его истинность.

а) Подставляя, получим

\[{13}^2={12}^2+5^2\] \[169=169-верно\]

Значит, треугольник является прямоугольным.

б) Подставляя, получим

\[6^2=4^2+5^2\] \[36=41-неверно\]

Значит, треугольник не является прямоугольным.

в) Подставляя, получим

\[5^2=4^2+3^2\] \[25=25-верно\]

Значит, треугольник является прямоугольным.

Замечание 1

Отметим, что прямоугольные треугольники с целыми значениями длин сторон называются пифагоровыми (пример -- пункт а), а со значениями сторон $3$, $4$ и $5$ -- египетским (пример -- пункт в).

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Марина Николаевна Ковальчук

Эксперт по предмету «Геометрия»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис