Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Как найти площадь квадрата и площадь прямоугольника

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Геометрия / Площадь. Формулы площади / Как найти площадь квадрата и площадь прямоугольника

Площадь многоугольника

Понятие площади многоугольника будем связывать с такой геометрической фигурой, как квадрат. За единицу площади многоугольника будем принимать площадь квадрата со стороной, равной единице. Введем два основных свойства, для понятия площади многоугольника.

Свойство 1: Для равных многоугольников значения их площадей равны.

Свойство 2: Любой многоугольник можно разбить на несколько многоугольников. При этом площадь исходного многоугольника равняется сумме площадей всех многоугольников, на которые разбит данный многоугольник.

Далее рассмотрим вывод формул для площадей квадрата и прямоугольника.

Площадь квадрата

Теорема 1

Площадь квадрата определяется как квадрат длины его стороны.

Математически это можно записать следующим образом

\[S=a^2\]

где $a$ -- длина стороны квадрата.

Доказательство.

Для доказательства нам необходимо рассмотреть три случая.

  1. Пусть $a=\frac{1}{n},\ n\in {\mathbb N}$.

    Рассмотрим квадрат, длина стороны которого равна единице и разобьем его на $n^2$ равных между собой квадратов (рис.1).



    Рисунок 1.

    Площадь всего квадрата. По введенному понятию площади, равняется единице, следовательно, по свойству площадей 2, площадь маленького квадрата равняется

    \[S=\frac{1}{n^2}=a^2\]
  2. Пусть $a$ десятичная дробь, имеющая $n$ знаков после запятой.

    Пусть $m=a\cdot {10}^n$. Число $m\in {\mathbb N}$. Рассмотрим квадрат, длина стороны которого равна $a$ и разобьем его на $m^2$ равных между собой квадратов(рис. 2). Каждая сторона маленького квадрата равняется

    \[\frac{a}{m}=\frac{a}{a\cdot {10}^n}=\frac{1}{{10}^n}\]



    Рисунок 2.

    Тогда по свойству $1$ и пункту $1$ данного доказательства, имеем

    \[S=m^2{\left(\frac{1}{{10}^n}\right)}^2={\left(\frac{a\cdot {10}^n}{{10}^n}\right)}^2=a^2\]
  3. Пусть $a$ -- бесконечная десятичная дробь.

    Построим число $b$ отбросив от числа $a$ десятичных знаков после запятой, начиная с $\left(n+1\right)$ десятичного знака. Для чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство

    \[b\le a\le b+\frac{1}{{10}^n}\]

    то есть

    \[b^2\le a^2\le {\left(b+\frac{1}{{10}^n}\right)}^2\]

    Для искомой площади также выполняется следующее неравенство

    \[b^2\le S\le {\left(b+\frac{1}{{10}^n}\right)}^2\]

    Так как, при $n\to \infty $

    \[{\mathop{\lim }_{n\to \infty } {\left(b+\frac{1}{{10}^n}\right)}^2\ }=b^2\]

    то из двух последних неравенств, получим

    \[S=a^2\]

Теорема доказана.

Площадь прямоугольника

Теорема 2

Площадь прямоугольника определяется произведением длин его смежных сторон.

Математически это можно записать следующим образом

\[S=ab\]

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$, у которого $AB=b,\ AD=a$. Достроим его до квадрата $APRV$, длина стороны которого равняется $a+b$ (рис. 3).



Рисунок 3.

По второму свойству площадей имеем

\[S_{ABCD}+S_{CQRT}+S_{BPQC}+S_{DCTV}=S_{APRV}\] \[2S_{ABCD}=S_{APRV}-S_{BPQC}-S_{DCTV}\] \[S_{ABCD}=\frac{S_{APRV}-S_{BPQC}-S_{DCTV}}{2}\]

По теореме 1

\[S_{APRV}={(a+b)}^2,\ S_{BPQC}=a^2,\ S_{DCTV}=b^2\] \[S_{ABCD}=\frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}{2}=ab\]

Теорема доказана.

Пример задач

Пример 1

Найти площадь прямоугольника со сторонами $5$ и $3$.

Решение.

По теореме $2$, получим

\[S=5\cdot 3=15\]

Ответ: $15.$

Пример 2

Найти площадь квадрата, диагональ которого равняется $10$.

Решение.

Обозначим сторону квадрата через $a$. Тогда, по теореме Пифагора

\[a^2+a^2=100\] \[{2a}^2=100\] \[a^2=50\] \[a=5\sqrt{2}\]

По теореме $1$

\[S={\left(5\sqrt{2}\right)}^2=50\]

Ответ: $50.$

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис