Системы координат. Прямые линии и плоскости

03.03.03; 10.03.01; 11.03.03 Алгебра и геометрия Толстиков А.В. Семестр 1. Лекции 6. Системы координат. Прямые линии и плоскости План 1. Аффинные системы координат на плоскости и в пространстве. 2. Основные задачи, решаемые в аффинных системах координат. 3. Формулы преобразования аффинной систем координат 4. Прямоугольные системы координат на плоскости и в пространстве. 5. Основные задачи, решаемые в прямоугольных системах координат. 6. Формулы преобразования прямоугольной системы координат 7. Полярная система координат. 8. Цилиндрическая система координат. 9. Сферическая система координат. 10. Уравнение линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии на плоскости 11. Различные уравнения прямой 12. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. 13. Угол между прямыми. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости 14. Расстояние от точки до прямой 15. Геометрический смысл неравенства Ax + By + C  0 16. Уравнения поверхности в пространстве. Уравнение сферы. 17. Различные уравнения плоскости 18. Взаимное расположение плоскостей. Углы между плоскостями. 19. Расстояние от точки до плоскости. Геометрический смысл неравенства Ax + By + Cz + D ³ 0. 20. Различные уравнения прямой в пространстве. 21. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Углы между прямыми. 22. Расстояние между двумя прямыми. 23. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997. 4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980. § 1. Аффинные системы координат 1. Определение аффинной системы координат. Определение 1.1. Аффинной или общей декартовой системой координат в пространстве (на плоскости или на прямой) называется точка О пространства (данной плоскости, прямой) и базис v пространства (соответственно плоскости, прямой). Точка О называется началом системы координат. Принято вектора базиса v откладывать от точки О и совокупность точки и базиса называть репером и обозначать символом (О,v). Определение 1.2. Аффинными координатами точки A в данной аффинной системе координат (О, v) называются координаты вектора относительно базиса v. Если базис v состоит из n векторов v = (v1, v2, ..., vn), то любая точка A имеет n координат (x1, x2,... , xn), которые записываются в круглых скобках рядом с точкой A(x1, x2,... , xn). Так как однозначно раскладывается по векторам базиса, то координаты любой точки A определяются однозначно. Обратно, для любого упорядоченного набора действительных чисел (x1, x2,... , xn) существует такая единственная точка A, что вектор = x1v1 + x2v2 + ...+ xnvn. Таким образом, между всеми упорядоченными наборами (x1, x2,... , xn) действительных чисел и точками имеется взаимно однозначное соответствие. Прямые, проходящие через точку О параллельно векторам базиса, называются координатными прямыми. Каждой координатной прямой принадлежит точка О и вектор выбранного базиса. Поэтому координатная прямая является числовой осью. Плоскости, проходящие через точку О параллельно двум векторам базиса, называются координатными плоскостями. 2. Аффинная система координат на прямой. В случае прямой базис состоит из одного ненулевого вектора v = (v) и система координат (О, v) изображена на рис. 4.1. В системе координат на прямой каждая точка A прямой имеет одну координату A(x), определяему разложением вектора по базису, = xv. Тогда A(0), E(1), где v = . Систему координат на прямой можно задать еще следующими способами: Двумя различными точками О и E данной прямой. Тогда одну из точек, например О, берем в качестве начала системы координат, а в качестве базисного вектора возьмем вектор v = (см. рис. 4.2). Точкой О, единичным отрезком ОE и положительным направлением данной прямой, которое отмечается стрелкой. 3. Аффинная система координат на плоскости. В случае плоскости базис состоит из двух неколлинеарных векторов плоскости, v = (v1, v2), и система координат (О, v1, v2) изображена на рис. 4.3. В системе координат на плоскости каждая точка A плоскости имеет две координаты A(x, y), определяемые разложением вектора по базису, = xv1+ yv2. Тогда A(0, 0), E1(1, 0), E2(0, 1), где v1 = , v2 = . Координаты точки называются соответственно абсциссой и ординатой. Систему координат на плоскости можно задать еще следующими способами: Тремя точками О, E1, E2 плоскости, не лежащими на одной прямой. Тогда одну из точек, например О, берем в качестве начала системы координат, а в качестве базисного вектора возьмем векторы v1 = , v2 = . Двумя пересекающимися числовыми осями Оx, Оy данной плоскости с общим началом О. Ось Оx называется осью абсцисс, ось Оy - осью ординат. Аффинная система координат (О, v1, v2) называется правой (левой), если поворот от вектора к вектору по кратчайшему направлению совершается против часовой стрелки (по часовой стрелке). На рис. 4.3 и 4.4 представлены правые системы координат. 4. Аффинная система координат в пространстве. В случае пространства базис состоит из двух некомпланарных векторов пространства, v = (v1,v2, v3), и система координат (О, v1, v2, v3) изображена на рис. 4.5. В этой системе координат каждая точка A пространства имеет три координаты A(x,y,z), определяемые разложением вектора по базису, = xv1+ yv2 + zv3. Тогда A(0, 0, 0), E1(1, 0, 0), E2(0, 1, 0), E3(0, 0, 1), где v1 = , v2 = , v3 = . Координаты точки называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой. Систему координат в пространстве можно задать еще следующими способами: Четверкой точек О, E1, E2, E3 пространства, не лежащими на одной плоскости. Тогда одну из точек, например О, берем в качестве начала системы координат, а в качестве базисного вектора возьмем векторы v1 = , v2 = , v3 = . Тремя числовыми осями Оx, Оy, Оz, не лежащими в одной плоскости с общим началом О. Ось Оx называется осью абсцисс, ось Оy - осью ординат, ось Оz - осью аппликат. Аффинная система координат (О, v1, v2, v3) называется правой (левой), если тройка векторов v1, v2, v3 правая (левая) На рис. 4.5 и 4.6 представлены правые системы координат, а на рис. 4.7 левая система координат. § 2. Основные задачи, решаемые в аффинные системы координат 1. Определение координат вектора по координатам его концов. Пусть в пространстве дана аффинная система координат (О, v1, v2, v3) и точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2). Требуется найти координаты вектора . По определению координат точки = x1v1+ y1v2 + z1v3, = x2v1+ y2v2 + z2v3. Тогда =- = (x2 - x1)v1+ (y2 - y1)v2 + (z2 - z1)v3. = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1). (2.1) Координаты вектора в базисе аффинной системе координат равны разности соответствующих координат точек B и A. Отметим, что аналогичное утверждение имеет место для векторов плоскости и прямой. 2. Деление отрезка в данном отношении. Определение 2.1. Говорят, что точка C делит отрезок AB в данном отношении   1, если =. Заметим точка, что C принадлежит отрезку AB, при  > 0 она лежит внутри отрезка AB, при  < 0 она лежит вне отрезка AB. Пусть в пространстве дана аффинная система координат (О, v1, v2, v3) и точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2). Требуется найти координаты точки C(x, y, z), которая делит отрезок AB в отношении   1. По формуле (2.1) находим = (x - x1, y - y1, z - z1), = (x2 - x, y2 - y, z2 - z). Так как=, то по условию равенства векторов в координатной форме получим равенства x - x1 = ( x2 - x), y - y1 = ( y2 - y), z - z1 = ( z2 - z), из которого находим координаты точки C: . (2.2) Формулы (2.2) называются формулами деления отрезка в данном отношении. При  = 1 точка делит отрезок пополам. По формулам (2.2) находим координаты середины отрезка AB: . (2.3) 3. Принадлежность трех точек прямой. Пусть в пространстве дана аффинная система координат (О, v1, v2, v3) и точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), С(x3, y3, z3). Требуется выяснить, когда эти три точки лежат на одной прямой. По формуле (2.1) находим = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1). Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Последнее равносильно тому, что координаты этих векторов пропорциональны. . 4. Принадлежность четырех точек плоскости. Пусть в пространстве дана аффинная система координат (О, v1, v2, v3) и точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) ), С(x3, y3, z3) , С(x4, y4, z4). Требуется выяснить, когда эти четыре точки лежат на одной плоскости. По формуле (2.1) находим = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1) , = (x4 - x1, y4 - y1, z4 - z1). Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны. Последнее равносильно тому, что определитель, составленный из координат этих векторов равен нулю =0. §3. Формулы преобразования аффинной систем координат 1. Пространства. Пусть в пространстве даны две аффинные системы координат (О, v1, v2, v3) и (О, v1, v2, v3), первую систему координат называем старой, а вторую новой. Пусть точка О в системе (О, v1, v2, v3) имеет координаты O(x0, y0, z0), а T = (tij) матрица перехода от базиса старой системы координат к базису новой. Пусть точка A имеет в старой и новой системах координат соответственно координаты A(x,y,z) и A(x,y,z). По определению координат точки имеем, =xv1 + yv2 + zv3, = xv1+ yv2 + zv3, =x0v1 + y0v2 + z0v3. По определению матрицы перехода от одного базиса к другому имеем: v1 = t11v1 + t21v2 + t31v3, v2 = t12v1 + t22v2 + t32v3, v3 = t13v1 + t23v2 + t33v3. Так как , то получаем другое представление вектора = (x0v1 + y0v2 + z0v3) + (xv1+ yv2 + zv3) = = (x0v1 + y0v2 + z0v3) + x(t11v1 + t21v2 + t31v3) + y(t12v1 + t22v2 + t32v3) + z(t13v1 + t23v2 + t33v3) = = (x0 + xt12 + yt12 + zt13)v1 + (y0 + xt22 + yt22 + zt23)v2 + + (z0 + xt32 + yt32 + zt33)v3. В силу единственности представления вектора через векторы базиса получаем формулы x = x0 + t12x + t12y + t13z, y = y0 + t22x + t22y + t23z, (3.1) z = z0 + t22x + t22y + t23z, которые называются формулами преобразования координат точки при переходе от одной системы координат к другой. Формулы (3.1) удобно записать в матричной форме: . (3.2) 2. Плоскости. Пусть на плоскости даны две аффинные системы координат (О, v1, v2) и (О, v1, v2), (старая и новая). Пусть точка О в системе (О, v1, v2) имеет координаты O(x0, y0), а T = (tij) матрица перехода от базиса старой системы координат к базису новой. Пусть точка A имеет в старой и новой системах координат соответственно координаты A(x,y) и A(x,y). Повторяя рассуждения предыдущего пункта, получим следующие формулы преобразования координат плоскости: x = x0 + t11x + t12y, y = y0 + t22x + t22y, (3.3) которые удобно записать в матричной форме: . (3.4) 3. Прямой. Пусть на прямой даны две аффинные системы координат (О, v1) и (О, v1), (старая и новая). Пусть точка О в системе (О, v1) имеет координаты O(x0), а T = (t11) матрица перехода от базиса старой системы координат к базису новой. Пусть точка A имеет в старой и новой системах координат соответственно координаты A(x) и A(x). Повторяя рассуждения предыдущего пункта, получим следующие формулы преобразования координат плоскости: x = x0 + t11x. (3.5) 4. Параллельного переноса. Осуществим параллельный перенос системы координат (О, v1, v2, v3), так, чтобы ее новое начало оказалось в точке O(x0, y0, z0). Получим новую систему координат (О, v1, v2, v3). Матрица T = (tij) перехода от базиса v1, v2, v3 к базису v1, v2, v3 является единичной матрицей и формулы (2.1) принимают вид: x = x0 + x, y = y0 + y, (3.6) z = z0 + z, которые называются формулами параллельного переноса .В случае плоскости они принимают следующий вид, x = x0 + x, y = y0 + y, (3.7) в случае прямой - x = x0 + x. § 4. Прямоугольные системы координат 1. Определение прямоугольной системы координат. Определение 4.1. Аффинная система координат называется прямоугольной, если базис, определяющий систему координат ортонормированный, т.е. вектора базиса попарно ортогональны и имеют единичную длину. Отметим, что прямоугольная система координат является частным случаем аффинной системы координат. В пространстве ортонормированный базис обозначается буквами i, j, k, а прямоугольная система координат обозначается символом (O, i, j, k). Прямоугольную систему координат в пространстве можно задать тремя взаимно перпендикулярными числовыми осями Оx, Оy, Оz с общим началом О, и равными единичными отрезками по осям. Она обозначается символом Oxyz. На рис. 4.13 и 4.14 соответственно изображены правая и левая прямоугольные системы координат в пространстве. На плоскости ортонормированный базис обозначается буквами i, j, прямоугольная система координат обозначается символом (O, i, j). Прямоугольную систему координат на плоскости можно задать двумя взаимно перпендикулярными числовыми осями Оx, Оy с общим началом О, и равными единичными отрезками по осям, обозначается символом Oxy. На рис. 4.15, 4.16 изображены правые прямоугольные системы координат на плоскости, а на рис. 4.17 - левая система координат. На прямой ортонормированный базис обозначается буквой i, прямоугольная система координат обозначается символом (O, i). Прямоугольную систему координат на прямой задает любая числовая ось прямой. § 5. Формулы преобразования прямоугольной системы координат. Для прямоугольной системы координат имеют место все формулы, имеющие место для произвольной аффинной системы координат. Рассмотрим случай преобразования прямоугольных систем координат на плоскости. Пусть на плоскости даны две прямоугольные системы координат (О, i, j) и (О, i, j). Пусть точка О в системе (О, i, j) имеет координаты O(x0, y0), а T = (tij) матрица перехода от базиса старой системы координат к базису новой. Пусть точка A имеет в старой и соответственно в новой системах координат координаты A(x,y) и A(x,y). По формуле (3.4) имеем . (4.1) Чтобы применить эти формулы, разложим вектора i, j по векторам i, j. Для этого обозначим через  угол между векторами i, i. Отсюда получим i= cos  i +sin  j, j= cos (  /2) i +sin (  /2) j = -sin  i +cos   j, где число , равно 1 или -1 в соответствии с тем базисы i, j и i, j ориентированны одинаково или противоположно (см. рис. 4.20, 4.21). Тогда получим матрицу перехода от первого базиса ко второму, а из формулы (4.1) следуют формулы преобразования прямоугольных координат плоскости , (4.2) где число , равно 1 или -1 в соответствии с тем новая и старая системы координат ориентированны одинаково или противоположно. Если начала и ориентации старой и новой систем координат совпадают, то одна система получается из другой поворотом на угол . В этом случае формулы (4.2) принимают вид . (4.3) и называются формулами поворота прямоугольной системы координат. § 6. Основные задачи, решаемые в прямоугольной системе координат В прямоугольной системе координат решаются все те задачи, которые решаются в аффинной системе координат, а решаются так называемые метрические задачи, связанные с измерением отрезков, углов, площадей и объемов. 1. Измерение длины отрезка. Найти расстояние между точками A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) в прямоугольной системе координат Oxyz. Расстояние меду точками и равно длине вектора = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1). (5.1) По формуле для длины вектора находим . (5.2) Для точек A(x1, y1), B(x2, y2) плоскости Oxy формула (5.2) принимает вид , (5.3) а для точек A(x1), B(x2) прямой Ox - . (5.4) 2. Измерение углов. Угол A в треугольнике ABC равен углу между векторами a = и b = . Угол  между ненулевыми векторами a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) легко находится из определения скалярного произведения векторов ab = abcos  и формулы для скалярного произведения векторов в координатной форме: . (5.5) Для векторов плоскости формула (5.5) принимает вид: . (5.6) Из формулы для определения модуля векторного произведения векторов легко найти формулу для синуса угла между векторами a и b. . (5.7) Для случая пространства углы между векторами неориентированные и не имеют знака. Для случая плоскости углы между векторами ориентированные и имеют знак. Угол ( a, b) называется положительным, если поворот от вектора к по наименьшему углу совершается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. По определению косинуса и синуса произвольного угла имеем . Так как  =   , , то получаем . Последнюю формулу можно записать в виде . (5.8) Из формул (5.6) и (5.8) получаем формулу для тангенса угла между векторами . (5.9) 3. Измерение площадей. Любой многоугольник можно диагоналями разбить на треугольники, поэтому вычисление площади любого многоугольника сводится к вычислению площади треугольника. Вычислим площадь треугольника ABC, у которого заданы координаты вершин A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) , С(x3, y3, z3) в прямоугольной системе координат Oxyz. Рассмотрим векторы = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1). По определению векторного произведения векторов площадь s треугольника ABC, вычисляется по формуле . Тогда получаем . (5.10) Отсюда находим . Площадь плоского треугольника ABC, у которого заданы координаты вершин A(x1, y1), B(x2, y2) , С(x3, y3) в прямоугольной системе координат Oxy можно найти, используя формулу синуса угла между векторами , (5.11) где стоит знак "+", если поворот от вектора к вектору по наименьшему углу осуществляется против часовой стрелки, т.е. обход треугольника ABC осуществляется против часовой стрелки, знак "-" - в противном случае. В первом случае говорят, что треугольник ориентирован положительно, а во втором - отрицательно. 4. Измерение объемов. Любой многогранник можно плоскостями разбить на треугольные пирамиды, поэтому вычисление объема любого многогранника сводится к вычислению объема треугольной пирамиды. Вычислим объем треугольной пирамиды ABCD, у которой заданы координаты вершин A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) , С(x3, y3, z3), , С(x4, y4, z4) в прямоугольной системе координат Oxyz. Рассмотрим векторы = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1) , = (x4 - x1, y4 - y1, z4 - z1). По свойству смешенного произведения векторов модуль смешенного произведения векторов площадь объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Отсюда об]ем v треугольной пирамиды ABCD, вычисляется по формуле . Тогда получаем . (5.12) § 7. Полярная система координат Полярная система координат на данной плоскости задается точкой Р, которая называется полюсом, и лучом, выходящим из точки Р, который называется полярным лучом или полярной осью. Любая точка M данной плоскости, отличная от полюса, имеет две координаты. Первая координата r равна длине радиус ектора , вторая и называется полярным расстоянием точки M. Вторая координата равна ориентированному углу , который образует радиус вектор с полярной осью. Этот угол называется полярным углом точки M. Отметим, что для полюса Р полярный угол не определен, а полярный радиус равен нулю. То, что точка A имеет полярные координаты r,  обозначаем символом A(r, ). Полярное расстояние r может меняться в промежутке [0, +), а полярный угол - в промежутке (-, +). Но в этом случае между точками и их координатами нет взаимно однозначного соответствия. Поэтому предполагают, что полярный угол меняется или на промежутке 0,2) или на (-, ]. Рассмотрим правую прямоугольную систему координат Oxy, начало O, которой совпадает с полюсом P, ось Ox направлена по полярной оси p (cм. рис. 4.26). Пусть точка A(r, ) имеет полярные координаты r и . Тогда по определению синуса и косинуса произвольного угла имеем , . Отсюда находим прямоугольные координаты x и y точки A: , . (6.1) Из формул (6.1) находим формулы , , (6.2) которые выражают полярные координаты r и  точки A через ее прямоугольные координаты x и y. § 8. Цилиндрическая система координат Цилиндрическая система координат в пространстве задается точкой O, которая называется началом цилиндрической системы координат, лучом l, выходящим из точки O, и вектором n единичной длины, перпендикулярным l. Через точку O проведем плоскость , перпендикулярную вектору n. Пусть дана точка M. Опустим из ее перпендикуляр MM  на плоскость . Тогда цилиндрические координаты (r,,h) точки M определяются следующим образом: r,  - полярные координаты точки M  на плоскости  по отношению полюсу O и полярной оси l, h - проекция вектора на вектор n. Координата r меняется на промежутке [0, +), координата  - на промежутке 0,2) или на (-, ], координата h - на промежутке (-, +). Рассмотрим правую прямоугольную систему координат Oxyz c началом в точке O, ось Ox направлена по оси l, направление оси Oz совпадает с направлением вектора n (cм. рис. 4.28). Пусть (r, , h) - цилиндрические координаты точки A, (x, y, z) - прямоугольные координаты точки A. Как и в предыдущем параграфе находим формулы: , , z = h (7.1) Из формул (7.1) находим , h = z, , (7.2) которые выражают цилиндрические координаты r, , h точки A через ее прямоугольные координаты x, y, z. § 9. Сферическая система координат Сферическая система координат в пространстве задается также как и цилиндрическая точкой O, которая называется началом сферической системы координат, лучом l, выходящим из точки O, и вектором n единичной длины, перпендикулярным l. Через точку O проведем плоскость , перпендикулярную вектору n. Пусть дана точка M. Опустим из ее перпендикуляр MM  на плоскость . Тогда цилиндрические координаты (r,,) точки M определяются следующим образом: r -расстояние OM,  - полярный угол проекции M точки M на плоскости  по отношению полюсу O и полярной оси l,  - угол между вектором и плоскостью . Координата r меняется на промежутке [0, +), координата  - на промежутке 0,2) или на (-, ], координата  - на промежутке -/2, /2. Рассмотрим правую прямоугольную систему координат Oxyz c началом в точке O, ось Ox направлена по оси l, направление оси Oz совпадает с направлением вектора n (cм. рис. 4.30). Пусть (r, , ) - сферические координаты точки A, (x, y, z) - прямоугольные координаты точки A. Тогда, как и в предыдущем параграфе, находим формулы: OM = r cos , ,,z = r sin , (8.1) Из формул (1) находим , , (8.2) которые выражают цилиндрические координаты r, , h точки A через ее прямоугольные координаты x, y, z. 10. Уравнение линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии на плоскости Определение 1. Пусть f(x,y) - функция от двух действительных переменных x, y и на плоскости задана аффинная система координат . Уравнение f(x,y) = 0 (1) называется уравнением линии l в данной системе координат, если выполняются два условия: 1) координаты x,y любой точки M(x,y) Î l удовлетворяют уравнению (1); 2) если координаты x,y точки M(x,y) удовлетворяют уравнению (1), то точка M(x,y) Î l. Таким образом, M(x,y)Î l тогда и только тогда, когда f(x,y)= 0. Пусть (2) - многочлен. Степенью ненулевого одночлена называется сумма показателей его степеней неизвестных ki + li . Степенью многочлена называется наибольшая степень его ненулевых членов. Степень многочлена обозначаем символом deg(f). Например, степень многочлена равна четырем. Определение 2. Если f(x,y) многочлен степени n, и уравнение (1) является уравнением линии l, то линия l называется линией n -го порядка (в данной системе координат). Теорема 1. Порядок линии l в аффинной системе координат не зависит от выбора аффинной системы координат и таким образом определяется однозначно. Основными задачами аналитической геометрии в пространстве являются следующие задачи: 1) по определению линии составить ее уравнение в заданной пространственной системе координат; 2) по уравнению линии изучить ее свойства, установить вид линии и изобразить ее. Определение 2. Окружностью с центром в точке C радиуса r называется геометрическое место всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до точки C равно r. Обозначим окружность с центром в точке C радиуса символом S(C,r). Выведем уравнение окружности в данной прямоугольной системе координат Oxy. Пусть C(x0,y0). По определению окружности точка M(x,y) принадлежит окружности с центром в точке C радиуса r тогда и только тогда, когда |CM| = r. (5) По формуле расстояния между двумя точками равенство (5) можно представить в виде: . Возведем в квадрат обе части полученного уравнения и находим уравнение окружности: , (6) которое равносильное первоначальному. Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (6) принимает вид: . (7) Если в уравнении (6) раскрыть скобки, то его можно представить в виде: , (8) где A = - x0, B = - y0, С = x02 + y02 - r2 . Последнее равенство доказывает первую часть теоремы. Теорема 2. Окружность является линией второго порядка в прямоугольной системе координат, уравнение которой можно представить в виде (8). Обратно, если A2 + B2 - C > 0, то уравнение (8) определяет окружность с центром в точке (-A, -B) радиуса . Доказательство. Для доказательства второй части теоремы выделим в правой части формулы (9) полные квадраты и представим уравнение (8) в виде (. Последнее уравнение является уравнение окружности только тогда, когда A2 + B2 - C > 0.  Замечание 1. В полярной системе координат, начало которой совпадает с центром окружности, уравнение окружности радиуса r0 задается уравнением r = r0. Полярная координата j не входят явно в уравнение окружности: j Î[0, 2p), q Î[-p/2, p/2]. Тогда по формулам перехода от полярной системы координат к прямоугольной системе координат получаем параметрические уравнения окружности: . (9) Упражнение 1. Проверить, что любая точка M(x,y), координаты которой находятся по формулам (9), удовлетворяют уравнению сферы . С помощью систем уравнений и неравенств могут быть в пространстве определены различные пространственные тела. Определение 3. Кругом с центром в точке C радиуса r называется геометрическое место всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до точки C не больше r. Упражнение 2. Докажите, что круг с центром в точке C(x0,y0) радиуса r задается неравенством . 10. Различные уравнения прямой 1. Уравнения прямой в аффинной системе координат. Пусть на плоскости задана аффинная система координат (O,e1,e2) . Определение 1. Направляющим вектором прямой a называется ненулевой вектор s параллельный прямой а. Пусть s = (m,l), - направляющий вектор прямой а, M0(x0,y0)- точка, принадлежащая прямой а. Пусть M(x,y), произвольная точка плоскости . Тогда точка M принадлежит прямой а тогда и только тогда, когда векторы , s коллинеарны. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов равен нулю. Таким образом, получаем уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0,y0), параллельной вектору s = (m,l): . (1) Это уравнение можно переписать в виде: . (2) Уравнение (2) называется каноническим уравнением прямой. Заметим, что если знаменатель в каноническом уравнении равен нулю, то и соответствующий числитель равен нулю. Пусть M1(x1,y1) и M2(x2,y2) - две различные точки, принадлежащие прямой а. В качестве направляющего вектора прямой а возьмем вектор . Тогда по формуле (2) получаем уравнение прямой, проходящей через две точки: . (3) Пример 1. Найдем уравнение прямой с направляющими векторами s = (B,-A), где A ¹ 0 или B ¹ 0. По формуле (1) находим уравнение этой плоскости: . Отсюда получаем уравнение . (4) Рассмотрим радиус вектора ro = и r =. Точка M принадлежит прямой а тогда и только тогда, когда векторы = r - ro и s коллинеарны. Так как вектор s ненулевой, то последнее равносильно тому, что вектор r - ro линейно выражается через вектор s, т.е. r - ro = ts, где t - действительное число. Отсюда получаем так называемое векторно-параметрическое уравнение плоскости: r = ro + ts, (5) где u, v - произвольныq действительный параметр. Так как r == (x,y), ro = = (x0,y0), то запишем это уравнение в координатной форме. Получим параметрические уравнения прямой прямой а: (6) где t - произвольный действительный параметр, s = (m,l) - направляющий вектор прямой а, M0(x0,y0) - точка, принадлежащая прямой а. Найдем уравнение прямой, которая не проходит через начало координат и пересекает координатные оси в точках M1(a,0) и M2(0,b). По формуле (3) находим уравнение этой прямой: . Преобразуем полученное уравнение к более простому виду (x - a)b + ya = 0, xb+ ya = abc, . (7) Уравнение (5) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. 2. Уравнения прямой в прямоугольной системе координат. Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Oxy. Определение 2. Нормальным вектором прямой a называется любой ненулевой вектор n перпендикулярный прямой а. Пусть n = (A,B) ¹ 0, -нормальный вектор прямой а, M0(x0,y0)- точка, принадлежащая прямой а. Пусть M(x,y), произвольная точка пространства, . Тогда точка M принадлежит прямой а тогда и только тогда, когда векторы и n ортогональны. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, Последнее в ортонормированном базисе можно записать в виде: A(x - x0) + B(y - y0) = 0. (8) Таким образом, получаем уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0,y0) и перпендикулярной вектору n = (A,B) ¹ 0. Определение 3. Углом наклона прямой a называется угол a, на который необходимо повернуть ось Ox, чтобы ее направление совпало с направлением прямой а. Определение 4. Угловым коэффициентом k прямой a, не перпендикулярной оси Ox,называется тангенс угла наклона прямой а. Пусть s = (m,l), - направляющий вектор прямой а, M0(x0,y0)- точка, принадлежащая прямой а. Угол a наклона прямой а равен углу между вектором s и ортом оси Ox. Если вектор s не перпендикулярен оси Ox, то m ¹ 0 и k = tga = l/m. (9) Тогда из канонического уравнения (2) прямой находим , или . (10) Уравнение (10) называется уравнением прямой, проходящей через точку M0(x0,y0) с угловым коэффициентом k. Из (10) находим уравнение y = kx + b, (10) где b = y0 - kx0. Заметим, что b равно отрезку. отсекаемому прямой а на оси Ox. Уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Если на прямой а заданы две различные точки M1(x1,y1), M2(x2,y2) и x1 ¹ x2, то угловой коэффициент k прямой а находится по формуле: . (12) 3. Общее уравнение прямой. Частные случаи. Рассмотрим произвольное уравнение первого порядка Ax + By + C = 0, (13) где коэффициенты одновременно не равны нулю, т.е. A2+ B2+ C2 ¹ 0. Теорема 1. Любую прямая в произвольной аффинной системе координат можно задать уравнением (13) первого порядка и обратно любое уравнение (1) первого порядка в аффинной системе координат определяет прямую. Доказательство. В силу теоремы 1 §4 порядок линии зависит от выбора аффинной системы координат. Поэтому достаточно доказать теорему для прямоугольной системы координат. Любую прямую в прямоугольной системе координат можно задать ее нормальным вектором n = (A,B) ¹ 0 и точкой M0(x0,y0), принадлежащей прямой. Уравнение этой прямой выведено в §2.2 и имеет вид: A(x - x0) + B(y - y0) = 0. отсюда получаем Ax + By +(-Ax0 - By0 )= 0, Ax + By +C = 0, где С = -Ax0 - By0. Так (A,B) ¹ 0, то A2+ B2 ¹ 0 и любая прямая есть линия первого порядка. Обратно, пусть некоторая линия на плоскости определена уравнением (13). Так как не все коэффициенты равны нулю, то уравнение (13) имеет решение (x0,y0). Тогда Ax0 + By0 + C = 0, (14) и точка M0(x0,y0) принадлежит линии. Вычитая почленно из уравнения (13) равенство (14), получим уравнение A(x - x0) + B(y - y0) = 0, которое равносильно уравнению (13). Это уравнение в силу §5.2, определяет прямую, проходящую через точку M0(x0,y0), перпендикулярную вектору n = (A,B). Замечания 1. Уравнение (13) называется общим уравнением прямой. Если прямая a задана общим уравнением (13) в прямоугольной системе координат, то n = (A,B) - нормальный вектор плоскости a. 2. Если прямая a задается общим уравнением (13) в произвольной аффинной системе координат и A ¹ 0 или B ¹ 0, то s = (B,-A) - направляющий вектор прямая a. 3. Если B ¹ 0, то уравнение (13) можно записать в виде . (15) Следовательно, если система координат прямоугольная, то (15) является уравнением прямой с угловым коэффициентом . Рассмотрим частные случаи уравнения (13). 1. Пусть C = 0. Тогда уравнение (13) принимает вид: Ax + By + C = 0 и прямая a, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат (см. Рис.2 6). 2. Пусть B = 0, A ¹ 0. Тогда уравнение (13) принимает вид: Ax + D = 0. Рассмотрим направляющий вектор s = (0,-A) этой прямой. Так как базисный вектор е1 = (0,1) оси Oy .коллинеарен вектору s2, то прямая a, определяемая этим уравнением, параллельна оси Oy (см. Рис. 27). Упражнение 2. Обоснуйте второй частный случай в прямоугольной системе координат, опираясь на понятие нормального вектора. 3. Пусть B ¹ 0, A = 0. Тогда уравнение (1) принимает вид: By + C = 0. Рассмотрим направляющиq вектор s = (B,0) этой прямой. Так как базисный вектор е1 = (1,0) оси Ox.коллинеарен вектору s, то прямая a, определяемая этим уравнением, оси Ox (см. Рис.2 8). 4. Пусть A = 0, B ¹ 0, C = 0. Тогда уравнение (13) принимает вид: By = 0. Прямая a, определяемая этим уравнением совпадает с осью Ox. 5. Если A ¹ 0, B = 0, C = 0, то прямая a, определяемая уравнением (13) совпадает с осью Oy. 12. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. 1. Условие параллельности двух прямыхй. Теорема 1. Пусть a и b две плоскости, заданные своими общими уравнениями в аффинной системе координат: a: A1x + B1y + C1 = 0, b: A2x + B2y + C2 = 0, A12 + B12 ¹ 0, A22 + B22 ¹ 0; . Тогда справедливы утверждения: 1) прямые a и b пересекаются тогда и только тогда, когда rang A = rang A¢ = 2; 2) прямые a и b параллельны тогда и только тогда, когда rang A = 1, rang A¢ = 2; 3) прямые a и b совпадают тогда и только тогда, когда rang A = rang A¢ = 1. Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений: (1) Применим к исследованию системы (1) теорему Кронекера-Капелли. Рассмотрим матрицу и расширенную матрицы системы (1): . Так как матрица А ненулевая, то rang A ³ 1. Имеем rang A¢ = rang A¢¢, rang A £ rang A¢ £ 2. Тогда возможны следующие случаи: 1) rang A = rang A¢ = 2. По теореме Кронекера-Капелли система (1) имеет единственное решение, и прямые a и b пересекаются. 2) rang A = 1, rang A¢ = 2. Тогда система (1) не имеет решений, и прямые a и b не имеют общих точек, а поэтому параллельны. 3) rang A = rang A¢ = 1. Тогда при приведении системы (1) к ступенчатому виду в системе останется одно из уравнений исходной системы, и система равносильна одному из уравнений системы (1). Следовательно, множество решений системы (1) совпадает с множеством решений одного из уравнений системы (1) и прямые a и b совпадают. Обратные утверждения легко доказываются методом от противного. Пусть прямые a и b пересекаются. Докажем, что rang A = rang A¢ = 2. Допустим противное. Тогда rang A = 1, rang A¢ = 2 или rang A = rang A¢ = 1. Отсюда, по доказанному выше, a || b или a = b. Получаем противоречие с условием. Следовательно, допущение неверно и rang A = rang A¢ = 2. Аналогично рассматриваются случаи a || b или a = b. Нетрудно проверить, что ранг двустрочной матрицы равен 1 тогда и только тогда, когда ее строки пропорциональны (проверьте самостоятельно). Тогда из теоремы 1 получаем следующее следствие. Следствие. 1) Прямые a и b пересекаются тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях прямых непропорциональны: . (2) 2) Прямые a и b параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях прямых пропорциональны и не пропорциональны свободным членам: . (3) 3) Прямые a и b совпадают тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях прямых пропорциональны и пропорциональны свободным членам: . (4) Замечания 1. Совпадающие плоскости в некоторых случаях считаются также и параллельными, и в этом случае условие параллельности прямые может быть записано в виде: . (5) 2. Условие (5) параллельности прямых, заданных уравнениями y = k1x + b1, y = k2x + b2 с угловым коэффициентом, может быть записано в виде k1 = k2. (6) Упражнение 1. Докажите следствие теоремы 1 в случае прямоугольной системы координат, используя то, что нормальные вектора n1, n2 прямые a и b могут быть заданы в виде: n1 = (A1,B1), n2 = (A2,B2) (выполнить чертеж). 13.Угол между прямыми. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости Определение 1. Углом между пересекающимися прямыми называется величина любого из углов, который образуется при пересечении прямых. Если прямые параллельны или совпадают, то угол считается равным нулю. Пусть a и b две прямые, заданные своими общими уравнениями в прямоугольной системе координат: a: A1x + B1y + C1 = 0, b: A2x + B2y + C2 = 0, A12 + B12 ¹ 0, A22 + B22 ¹ 0. Рассмотрим нормальные векторы n1 = (A1,B1), n2 = (A2,B2) прямых a и b. В силу теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами угол j между прямыми a и b равен углу между нормальными векторами n1 и n2. По определению скалярного произведения векторов n1n2 = |n1|×| n2|cos j. Отсюда находим формулу косинуса угла между прямыми a и b: . (7) По формулам синуса и тангенса угла между векторами на плоскости находим: , (8) . (9) Отметим, что формула (9) наиболее удобна, так как не содержит радикалов, но не верна в том случае, когда прямые a и b перпендикулярны. Заметим, что прямые a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда нормальные векторы n1 и n2 этих прямых ортогональны. По условию ортогональности векторов последнее равносильно тому, что скалярное произведение n1n2 = 0. Так как n1n2 = A1A2+B1B2, то получаем теорему. Теорема 2. Прямые a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда n1n2 = A1A2+B1B2 = 0. (10) Если прямые заданны уравнениями y = k1x + b1, y = k2x + b2 с угловым коэффициентом, то из формулы (9) находим формулу для нахождения угла между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами: . (11) Условие (10) перпендикулярности прямых в этом случае принимает вид: k1k2 + 1 = 0. (12) 14. Расстояние от точки до прямой Определение 2. Расстоянием от точки M0 до прямой a называется длина перпендикуляра, опущенного из точки M0 на прямую a. Вычислим расстояние от точки M0(x0,y0) до прямой a, заданной в прямоугольной системе координат общим уравнением a: Ax + By + C = 0, A2 + B2 ¹ 0. Отпустим из точки M0(x0,y0) перпендикуляр M0M1 на прямой a, M1 - основание перпендикуляра. Рассмотрим вектор и нормальный вектор n = (A,B) прямой. Так как векторы и n ортогональны одной и той же прямой, то он коллинеарны. Вычислим их скалярное произведение двумя способами. С одной стороны, так как угол j между векторами и n равен 0 или 1800, по определению скалярного произведения имеем × n = |n|× cos j = ± |n| = ±d|n|, где d расстояние от точки M0 до прямой a. С дугой стороны, × n = A(x0 - x1) + B(y0 - y1) = = Ax0 + By0 + (-Ax1 - B y1) Так как точка M1Î a , то-Ax1 - B y1 = C1. Отсюда ±d|n| == Ax0 + By0 +C. Таким образом, находим формулу расстояния от точки до прямой . (13) Пример 1. Найти уравнения биссектрис, образованных двумя пересекающимися прямыми: a: A1x + B1y + C1 = 0, b: A2x + B2y + C2 = 0, A12 + B12 ¹ 0, A22 + B22 ¹ 0. Так как биссектриса является геометрическим местом точек равноудаленных от прямых, образующих угол, то по формулы (1) получаем уравнения биссектрис углов, образованных при пересечении прямых: . (14) 15. Геометрический смысл неравенства Ax + By + C ³ 0 На плоскости рассматривается аффинная система координат. Теорема 1. Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству Ax + By + C ³ 0 (1) A2 + B2 ¹ 0, является полуплоскостью, ограниченной прямой a: Ax + By + C = 0 (2) в которой лежит конец вектора n = (A,B), отложенного от произвольной точки прямой a. Доказательство. 1. Сначала покажем, что функция f(x,y) = Ax + By + C принимает значения одинаковых знаков, в точках каждой из полуплоскостей, на которые прямая a разбивает плоскость. Пусть M1(x1,y1), M2(x2,y2) любые две точки плоскости, не принадлежащие прямой a, и которые не лежат на прямой параллельной прямой a. Тогда прямая M1M2 пересекает прямую a в точке M(x,y), которая делит отрезок в некотором отношении l. Координаты точки M вычисляются по формулам: . (3) и удовлетворяют уравнению прямой a. Тогда справедливо равенство Отсюда находим . Так как точка M2 Ï a, то . Тогда . Точки M1 и M2 лежат по одну сторону от прямой a тогда и только тогда, когда точка M не принадлежит отрезку M1M2. Последнее верно тогда и только тогда, когда l < 0. Следовательно, точки M1 и M2 лежат по одну сторону от прямой a тогда и только тогда, когда функция f(x,y) принимает в точках M1 и M2 значения одного знака (см. рис 32). Точки M1 и M2 лежат по разные стороны от прямой a тогда и только тогда, когда точка M принадлежит отрезку M1M2. Последнее верно тогда и только тогда, когда l > 0. Следовательно, точки M1 и M2 лежат по разные стороны от прямой a тогда и только тогда, когда функция f(x,y) принимает в точках M1 и M2 значения разных знаков (см. рис 33).. Если точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2) лежат на прямой параллельной прямой a, то они расположены также по одну строну от прямой a. Чтобы доказать это необходимо взять еще одну точку M2(x3,y3) в той же полуплоскости, не лежащую на прямой M1M2. В силу доказанного функция f(x,y) принимает в точках M1 и M3, M2 и M2 значения одного знака. Тогда и точках M1 и M2 функция принимает значения одного знака. Таким образом, функция f(x,y) принимает значения одного знака в каждой из полуплоскостей, на которые прямая a разбивает плоскость, и в разных полуплокостях эти знаки различны. 2. Отложим, от точки M1(x1,y1)Î a вектор n = (A,B) и получим такую точку M2(x2,y2), что = n = (A,B) (см. рис 21).Отсюда x2 = x1 + A, y2 = y1 + B. Подставим координаты точки M2 в левую часть уравнения (2) и получим f(x2,y2) = Ax2 + By2 + C = A(x1 + A) + B(y1 + B) + C = = Ax1 + By1 + C + A2 + B2. . Так как точка M1(x1,y1)Î a. то Ax1 + By1 + C = 0. Поэтому f(x2,y2) = A2 + B2 > 0. Пример 1. Найти уравнение биссектрисы острого угла, образованного двумя a1:3x + 4y - 5 = 0, a2:5x - 12y + 3 = 0. По формуле (2) § 6 находим уравнения биссектрис углов, образованных прямыми a1 и a2: . Получаем две биссектрисы b1 :7x -56y + 40 = 0, b2 :8x - y + 5 = 0. На биссектрисе b2 выбираем точку M1(0,5). Вычислим значения левых частей данных уравнений в точке M1: 3×0 + 4×5 - 5 = 25> 0, 5×0 - 12×5 + 3 = - 57 < 0. Отложим от точки M1 нормальные вектора n1 = (3,4), n2 = (5,-12) данных прямых. В силу теоремы 1 вектор n1 направлен в от прямой a1, а вектор n2 направлен к прямой a2 (см. рис.15). Тогда угол между векторами n1 и n2 равен углу между прямыми a1 и a2 . Так как n1×n2 =3×5-4×12= -33 < 0 , то b2 - биссектриса тупого угла. Следовательно, искомая биссектриса b1:7x -56y + 40 = 0. 16. Уравнения поверхности в пространстве. Уравнение сферы. Определение 1. Пусть f(x,y,z) - функция от трех действительных переменных x, y, z и в пространстве задана аффинная система координат . Уравнение f(x,y,z) = 0 (1) называется уравнением поверхности s в данной системе координат, если выполняются два условия: 3) координаты x,y,z любой точки M(x,y,z) Îs удовлетворяют уравнению (11); 4) если координаты x,y,z точки M(x,y,z) удовлетворяют уравнению (11), то точка M(x,y,z) Îs. Таким образом, M(x,y,z)Îs тогда и только тогда, когда f(x,y,z)= 0. Если f(x,y,z) многочлен степени n, то поверхность s называется поверхность n - го порядка. Основными задачами аналитической геометрии в пространстве являются следующие задачи: 4) по определению поверхности составить ее уравнение в заданной пространственной системе координат; 5) по уравнению поверхности изучить ее свойства, установить вид поверхности и изобразить ее. Определение 2. Сферой с центром в точке C радиуса r называется геометрическое место всех точек пространства, для каждой из которых расстояние до точки C равно r. Обозначим сферу с центром в точке C радиуса символом S(C,r). Выведем уравнение сферы в данной прямоугольной системе координат Oxyz. Пусть C(x0,y0,z0). По определению сферы точка M(x,y,z) принадлежит сфере с центром в точке C радиуса r тогда и только тогда, когда |CM| = r. (2) По формуле расстояния между двумя точками равенство (2) можно представить в виде: . Возведем в квадрат обе части полученного уравнения и находим уравнение сферы: , (3) которое равносильное первоначальному. Если центр сферы совпадает с началом координат, то уравнение (3) принимает вид: . (4) С помощью систем уравнений и неравенств могут быть в пространстве определены различные пространственные тела. Определение 3. Шаром с центром в точке C радиуса r называется геометрическое место всех точек пространства, для каждой из которых расстояние до точки C не больше r. Шар с центром в точке C(x0,y0,z0) радиуса r задается неравенством . 17. Различные уравнения плоскости Пусть в пространстве R 3 задана прямоугольная система координат Oxyz. Определение 1. Нормальным вектором плоскости a называется любой ненулевой вектор n перпендикулярный плоскости a. Пусть n = (A,B,C) ¹ 0, -нормальный вектор плоскости a, M0(x0,y0,z0)- точка, принадлежащая плоскости a. Пусть M(x,y,z), произвольная точка пространства, . Тогда точка M принадлежит плоскости a тогда и только тогда, когда векторы и n ортогональны. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, Последнее в ортонормированном базисе можно записать в виде: A(x - x0) + B(y - y0) +C(z - z0) = 0 . (1) Таким образом, получаем уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору n = (A,B,C) ¹ 0. Рассмотрим произвольное уравнение первого порядка Ax + By + Cz + D = 0, (2) где коэффициенты одновременно не равны нулю, т.е. A2+ B2+ C2 ¹ 0. Теорема 1. Любую плоскость в произвольной аффинной системе координат можно задать уравнением (1) первого порядка и обратно любое уравнение (1) первого порядка в аффинной системе координат определяет плоскость. Доказательство. Достаточно доказать теорему для прямоугольной системы координат. Любую плоскость в прямоугольной системе координат можно задать ее нормальным вектором n = (A,B,C) ¹ 0 и точкой M0(x0,y0,z0), принадлежащей плоскости. Уравнение этой плоскости выведено в §2.2 и имеет вид: A(x - x0) + B(y - y0) +C(z - z0) = 0. отсюда получаем Ax + By +Cz +(-Ax0 - By0 - Cz0)= 0, Ax + By +Cz + D= 0, где D = -Ax0 - By0 - Cz0. Так (A,B,C) ¹ 0, то A2+ B2+ C2 ¹ 0 и любая плоскость есть поверхность первого порядка. Обратно, пусть некоторая поверхность в пространстве определена уравнением (1). Так как не все коэффициенты равны нулю, то уравнение (1) имеет решение (x0,y0,z0). Тогда Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, (3) и точка M0(x0,y0,z0) принадлежит поверхности. Вычитая почленно из уравнения (1) равенство (2), получим уравнение A(x - x0) + B(y - y0) +C(z - z0) = 0, равносильное уравнению (1). Это уравнение в силу §2.2, определяет плоскость, проходящую через точку M0(x0,y0,z0), перпендикулярную вектору n = (A,B,C). Определение 2. Направляющими векторами плоскости a называется пара неколлинеарных векторов s1 и s2 параллельных плоскости a. Пусть s1 = (m1,k1,l1), s2 = (m2,k2,l2) -направляющие вектора плоскости a, M0(x0,y0,z0)- точка, принадлежащая плоскости a. Пусть M(x,y,z), произвольная точка пространства, . Тогда точка M принадлежит плоскости a тогда и только тогда, когда векторы , s1 и s2 компланарны. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов равен нулю. Таким образом, получаем уравнение плоскости по двум направляющим векторам и точке, принадлежащей плоскости . (4) Пример 1. Найдем уравнение плоскости с направляющими векторами s1 = (B,-A,0), s2 = (C,0,-A), где A ¹ 0. Так как векторы s1 и s2 неколлинеарны, то формуле (4) находим уравнение этой плоскости: . Отсюда находим . Сократим на A ¹ 0 и получаем уравнение . (5) Рассмотрим радиус вектора ro = и r =. Точка M принадлежит плоскости a тогда и только тогда, когда векторы = r - ro, s1 и s2 компланарны. Так как векторы s1 и s2 неколлинеарны, то последнее равносильно тому, что вектор r - ro линейная комбинация векторов s1 и s2, т.е. r - ro = us1 +vs2, где u, v - действительные числа. Отсюда получаем так называемое векторно-параметрическое уравнение плоскости. r = ro + us1 +vs2, (6) где u, v - произвольные действительные параметры. Так как r == (x,y,z), ro = = (x0,y0,z0), то запишем это уравнение в координатной форме. Получим параметрические уравнения плоскости: (7) где u, v - произвольные действительные параметры, s1 = (m1,k1,l1), s1 = (m2,k2,l2) - направляющие вектора плоскости, M0(x0,y0,z0)- точка, принадлежащая плоскости. Пусть даны три точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3) плоскости , которые не принадлежат одной прямой. Тогда векторы , являются направляющими векторами плоскости a. Применяя формулу (4) получим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: . (8) Пусть плоскость не проходит через начало координат и пересекает оси Ox, Oy, Oz соответственно в точках M1(a,0,0), M2(0,b,0), M3(0,0,c). По формулу (8) находим уравнение плоскости, проходящей через эти три точки . Вычислим этот определитель и преобразуем полученное уравнение к более простому виду (x - a)bc + yac + zab = 0, xbc + yac + zab = abc, . (9) Уравнение (5) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. .Замечание 1. Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости. Если плоскость a задается общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат, то n = (A,B,C) - нормальный вектор плоскости a. Если плоскость a задается общим уравнением (1) в произвольной аффинной системе координат и A ¹ 0, то s1 = (B,-A,0), s2 = (C,0,-A) направляющие вектора плоскости a. Рассмотрим частные случаи уравнения (1). 1. Пусть D = 0. Тогда уравнение (1) принимает вид: Ax + By + Cz = 0 и плоскость, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат (см. Рис. 6). 2. Пусть С = 0, A ¹ 0. Тогда уравнение (1) принимает вид: Ax + By + D = 0. Рассмотрим направляющие вектора s1 = (B,-A,0) и s2 = (0,0,-A) этой плоскости. Так как базисный вектор е3 = (0,0,1) оси Oz .коллинеарен вектору s2, то плоскость a, определяемая этим уравнением, параллельна оси Oz (см. Рис. 7). 3. Пусть B=0, С = 0, A ¹ 0. Тогда уравнение (1) принимает вид: Ax + D = 0. Рассмотрим направляющие вектора s1 = (0,-A,0) и s2 = (0,0,-A) этой плоскости. Так как базисные векторы е2 = (0,1,0), е3 = (0,0,1) .коллинеарны соответственно векторам вектору s1, s2, то плоскость a, определяемая этим уравнением, параллельна координатной плоскости Ozy (см. Рис. 8). 18. Взаимное расположение плоскостей. Углы между плоскостями. Теорема 1. Пусть a и b две плоскости, заданные своими общими уравнениями в аффинной системе координат: a: A1x + B1y + C1z + D1 = 0, b: A2x + B2y + C2z + D2 = 0, A12 + B12+ C12 ¹ 0, A22 + B22+ C22 ¹ 0; . Тогда справедливы утверждения: 4) плоскости a и b пересекаются тогда и только тогда, когда rang A = rang A¢ = 2; 5) плоскости a и b параллельны тогда и только тогда, когда rang A = 1, rang A¢ = 2; 6) плоскости a и b совпадают тогда и только тогда, когда rang A = rang A¢ = 1. Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений: (1) Применим к исследованию системы (1) теорему Кронекера-Капелли. Рассмотрим матрицу и расширенную матрицы системы (1): . Так как матрица А ненулевая, то rang A ³ 1. Имеем rang A¢ = rang A¢¢, rang A £ rang A¢ £ 2. Тогда возможны следующие случаи: 1) rang A = rang A¢ = 2. По теореме Кронекера- Капелли система (1) разрешима и плоскости a и b имеют общие точки. Так как при решении системы (1) методом Гаусса число свободных неизвестных равно 1, а не двум, то не все решения системы (1) являются решениями первого уравнения системы и плоскости a и b не совпадают. Следовательно, плоскости a и b пересекаются. 2) rang A = 1, rang A¢ = 2. Тогда система (1) не имеет решений, и плоскости a и b не имеют общих точек, а поэтому параллельны. 6) rang A = rang A¢ = 1. Тогда при приведении системы (1) к ступенчатому виду в системе останется одно из уравнений исходной системы, и система равносильна одному из уравнений системы (1). Следовательно, множество решений системы (1) совпадает с множеством решений одного из уравнений системы (1) и плоскости a и b совпадают. Обратные утверждения легко доказываются методом от противного. Пусть плоскости пересекаются. Докажем, что rang A = rang A¢ = 2. Допустим противное. Тогда rang A = 1, rang A¢ = 2 или rang A = rang A¢ = 1. Отсюда, по доказанному выше, a || b или a = b. Получаем противоречие с условием. Следовательно, допущение неверно и rang A = rang A¢ = 2. Аналогично рассматриваются случаи a || b или a = b. Нетрудно проверить, что ранг двухстрочной матрицы равен 1 тогда и только тогда, когда ее строки пропорциональны (проверьте самостоятельно). Тогда из теоремы 1 получаем следующее следствие. Следствие. 1) Плоскости a и b пересекаются тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях плоскостей непропорциональны: (2) 2) Плоскости a и b параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях плоскостей пропорциональны и не пропорциональны свободным членам: . (3) 3) Плоскости a и b совпадают тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях плоскостей пропорциональны и пропорциональны свободным членам: . (4) Замечание 1. Совпадающие плоскости в некоторых случаях считаются также и параллельными, и в этом случае условие параллельности плоскостей может быть записано в виде: . Взаимное расположение трех плоскостей. Пусть a, b и g три плоскости, заданные своими общими уравнениями в аффинной системе координат: a: A1x + B1y + C1z + D1 = 0, b: A2x + B2y + C2z + D2 = 0, g: A3x + B3y + C3z + D3 = 0, A12 + B12+ C12 ¹ 0, A22 + B22+ C22 ¹ 0, A32 + B32+ C32 ¹ 0. Рассмотрим систему трех уравнений (5) и матрицы . Заметим, что rang A £ rang A¢ и ранги матриц A и A¢ могут отличаться только на единицу. Тогда возможны следующие случаи: 1. rang A = rang A¢ = 3. Тогда система (5) имеет единственное решение и плоскости a, b, g пересекаются в одной точке (см. Рис. 10). 2. rang A = rang A¢ = 2. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости a, b, g пересекаются по прямой. При этом, если строки матрицы непропорциональны, то среди плоскостей a, b, g нет совпадающих (см. рис 11). Если две строки матрицы пропорциональны, то соответствующие плоскости совпадают (см. Рис. 12). 3. rang A = rang A¢ = 1. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости a, b, g совпадают (см. рис 14). 4. rang A =2, rang A¢ = 3. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A нет пропорциональных, то все три плоскости пересекаются друг с другом и не пересекаются вместе (см. рис 15). Если две из строк матрицы A пропорциональны, то две из плоскостей параллельны и третья их пересекает (см. рис 16). 5. rang A =1, rang A¢ = 2. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A¢ есть пропорциональных, то все две плоскости совпадают друг с другом, а третья им параллельна (см. рис. 17). Если среди строк матрицы A¢ нет пропорциональных строк, то все три параллельны друг с другу (см. рис. 18). Угол между плоскостями. Определение 1. Углом между пересекающимися плоскостями называется величина любого из двухгранных углов, который образуется при пересечении плоскостей. Пусть a и b две плоскости, заданные своими общими уравнениями в прямоугольной системе координат: a: A1x + B1y + C1z + D1 = 0, b: A2x + B2y + C2z + D2 = 0, A12 + B12+ C12 ¹ 0, A22 + B22+ C22 ¹ 0. Рассмотрим нормальные векторы n1 = (A1,B1,C1), n2 = (A2,B2,C2) плоскостей a и b. В силу теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами угол j между плоскостями a и b равен углу между нормальными векторами n1 и n2. По определению скалярного произведения векторов n1n2 = |n1|×| n2|cos j. Отсюда находим формулу косинуса угла между плоскостями a и b: . (6) Заметим, что плоскости a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда нормальные векторы n1 и n2 этих плоскостей ортогональны. По условию ортогональности векторов последнее равносильно тому, что скалярное произведение n1n2 = 0. Так как n1n2 = A1A2+B1B2+C1C2, то получаем теорему. Теорема 2. Плоскости a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда n1n2 = A1A2+B1B2+C1C2 = 0. (7) 19. Расстояние от точки до плоскости. Геометрический смысл неравенства Ax + By + Cz + D ³ 0. Определение 1. Расстоянием от точки M0 до плоскости a называется длина перпендикуляра, опущенного из точки M0 на плоскость a. Вычислим расстояние от точки M0(x0,y0,z0) до плоскости a, заданной в прямоугольной системе координат общим уравнением a: Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B2+ C2 ¹ 0. Отпустим из точки M0(x0,y0,z0) перпендикуляр M0M1 на плоскость a, M1 - основание перпендикуляра. Рассмотрим вектор и нормальный вектор n = (A,B,C) плоскости. Так как векторы и n ортогональны одной и той же плоскости, то он коллинеарны. Вычислим их скалярное произведение двумя способами. С одной стороны, так как угол j между векторами и n равен 0 или 1800, по определению скалярного произведения имеем × n = |n|× cos j = ± |n| = ±d|n|, где d расстояние от точки M0 до плоскости a. С дугой стороны, × n = A(x0 - x1) + B(y0 - y1) +C(z0 - z1) = = Ax0 + By0 +Cz0 + (-Ax1 - B y1 -C z1) Так как точка M1Î a , то-Ax1 - B y1 -C z1 = D. Отсюда ±d|n| == Ax0 + By0 +Cz0 + D. Таким образом, находим формулу расстояния от точки до плоскости . (1) Геометрический смысл неравенства Ax + By + Cz + D ³ 0. В пространстве рассматривается произвольная аффинная система координат. Теорема 2. Множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют неравенству Ax + By + Cz + D ³ 0 (2) A2 + B2+ C2 ¹ 0, является полупространством, ограниченным плоскостью a: Ax + By + Cz + D = 0 (3) в которой лежит конец вектора n = (A,B,C), отложенного от произвольной точки плоскости a. Доказательство. 1. Сначала покажем, что функция f(x,y,z) = Ax + By + Cz + D принимает значения одинаковых знаков, в точках каждой из полупространств, на которые плоскость a разбивает пространство. Пусть M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) любые две точки пространства, не принадлежащие плоскости a, и которые не лежат на прямой параллельной плоскости a. Тогда прямая M1M2 пересекает плоскость a в точке M(x,y,z), которая делит отрезок в некотором отношении l. Координаты точки M вычисляются по формулам: (4) и удовлетворяют уравнению плоскости a. Тогда справедливо равенство Отсюда находим . Так как точка M2 Ïa, то . Тогда . Точки M1 и M2 лежат по одну сторону от плоскости a тогда и только тогда, когда точка M не принадлежит отрезку M1M2. Последнее верно тогда и только тогда, когда l < 0. Следовательно, точки M1 и M2 лежат по одну сторону от плоскости a тогда и только тогда, когда функция f(x,y,z) принимает в точках M1 и M2 значения одного знака (см. рис 21). Точки M1 и M2 лежат по разные стороны от плоскости a тогда и только тогда, когда точка M принадлежит отрезку M1M2. Последнее верно тогда и только тогда, когда l > 0. Следовательно, точки M1 и M2 лежат по разные стороны от плоскости a тогда и только тогда, когда функция f(x,y,z) принимает в точках M1 и M2 значения разных знаков (см. рис 22). Если точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) лежат на прямой параллельной плоскости a, то они также расположены по одну строну от плоскости a. Для того, чтобы это доказать, необходимо взять еще одну точку M2(x3,y3,z3) в том же полупространстве, не лежащую на прямой M1M2. В силу доказанного функция f(x,y,z) принимает в точках M1 и M3, M2 и M2 значения одного знака. Тогда в точках M1 и M2 функция принимает значения одного знака. Таким образом, функция f(x,y,z) принимает значения одного знака в каждом из полупространств, на которые плоскость a разбивает пространство, и в разных полупространствах эти знаки различны. 2. Отложим, от точки M1(x1,y1,z1)Îa вектор n = (A,B,C) и получим такую точку M2(x2,y2,z2), что = n = (A,B,C) (см. рис 23). Отсюда x2 = x1 + A, y2 = y1 + B, z2 = z1 + C. Подставим координаты точки M2 в левую часть уравнения (2) и получим f(x2,y2,z2) = Ax2 + By2 + Cz2 + D = A(x1 + A) + B(y1 + B) + C(z1 + C)+ D = = Ax1 + By1 + Cz1+ D + A2 + B2 + C2. . Так как точка M1(x1,y1,z1)Îa. то Ax1 + By1 + Cz1+ D = 0. Поэтому f(x2,y2,z2) = A2 + B2 + C2 > 0. 20. Различные уравнения прямой в пространстве Пусть в пространстве задана аффинная система координат (O,e1,e2,e3) . Определение 1. Направляющим вектором прямой a называется ненулевой вектор s, параллельный прямой a. Пусть s = (m,k,l) -направляющие вектора прямой а, M0(x0,y0,z0)- точка, принадлежащая прямой а. Пусть M(x,y,z), произвольная точка пространства, . Точка M принадлежит прямой а тогда и только тогда, когда векторы и s коллинеарны. Последнее равносильно тому, что координаты этих векторов пропорциональны. Отсюда получаем уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0,y0,z0), параллельной вектору s = (m,k,l): . (1) Уравнение (1) называется каноническим уравнением прямой. Заметим, что если знаменатель в каноническом уравнении равен нулю, то и соответствующий числитель равен нулю. Пусть M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2) - две различные точки, принадлежащие прямой а. В качестве направляющего вектора прямой а возьмем вектор . Тогда по формуле (1) получаем уравнение прямой, проходящей через две точки: . (2) Рассмотрим радиус вектора ro = и r =. Точка M принадлежит прямой а тогда и только тогда, когда векторы = r - ro и s коллинеарны. Так как вектор s ненулевой, то последнее равносильно тому, что вектор r - ro линейно выражается через вектор s, т.е. r - ro = ts, где t - действительное число. Отсюда получаем так называемое векторно-параметрическое уравнение плоскости: r = ro + ts, (3) где t - произвольный действительный параметр. Так как r == (x,y,z), ro = = (x0,y0,z0), то запишем это уравнение в координатной форме. Получим параметрические уравнения прямой прямой а: (4) где t - произвольный действительный параметр, s = (m,k,l) - направляющий вектор прямой а, M0(x0,y0,z0) - точка, принадлежащая прямой а. Прямую можно также представить как линию пересечения двух пересекающихся плоскостей a и b: , (5) где A12 + B12+ C12 ¹ 0, A22 + B22+ C22 ¹ 0; Чтобы перейти от уравнений (4) прямой к каноническим уравнениям прямой необходимо найти точку M0 этой прямой и направляющий вектор этой прямой. Решив систему (4) и найдем одно ее частное решение (x0,y0,z0), M0(x0,y0,z0)- точка, принадлежащая прямой а. Наиболее легко направляющий вектор прямой находится в прямоугольной системе координат исходя из определения векторного произведения векторов. Для этого рассмотрим нормальные вектора n1 = (A1,B1,C1), n2 = (A2,B2,C2) плоскостей a и b. Направляющим вектором прямой пересечения плоскостей a и b является векторное произведение векторов n1 , n2. Находим векторное произведение векторов n1 ´ n2 = . Таким образом, каноническое уравнение прямой (4) имеет вид: . (5) 21. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Углы между прямыми. Пусть две прямые a и b в пространстве, в некоторой аффинной системе координат заданные каноническими уравнениями a:, (1) b:. (2) Эти прямые a и b задаются своими направляющими векторами s1 = (m1,k1,l1), s2 = (m2,k2,l2) и точками M1(x1,y1,z1), M2(x1,y1,z1) которые принадлежат этим прямым. Рас-сотрим вектор . Рассмотрим матрицу, составленную из координат этих векторов, . 1. Прямые a и b скрещиваются тогда и только тогда, когда векторы , s1, s2 некомпланарны. Последнее равносильно тому, что det A не равен нулю, т.е. rang A = 3. 2. Прямые a и b пересекаются тогда и только тогда, когда векторы , s1, s2 компланарны, а векторы s1 и s2 неколлинеарны. Последнее равносильно тому, что det A =0, а и вторая и третья строки матрицы A непропорциональны, т.е. rang A = 2, а ранг матрицы, составленной из двух последних строк равен 2. 3. Прямые a и b параллельны тогда и только тогда, когда векторы s1 и s2 коллинеарны, а векторы и s1 неколлинеарны. Последнее равносильно тому, что в матрице А вторая и третья строки пропорциональны, т.е. rang A = 2, а ранг матрицы, составленной из двух последних строк равен 1. 4. Прямые a и b совпадают тогда и только тогда, когда векторы , s1 и s2 попарно коллинеарны. Последнее равносильно тому, что все строки матрицы А попарно пропорциональны, т.е. rang A = 1. Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 1. Пусть прямые a и b заданы каноническими уравнениями (1) и (2). Тогда справедливы следующие утверждения: 1) a и b скрещиваются тогда и только тогда когда rang A = 3; 2) a и b пересекаются тогда и только тогда, когда rang A = 2, а вторая и третья строки матрицы A непропорциональны; 3) a и b параллельны тогда и только тогда, когда rang A = 2, а вторая и третья строки матрицы A пропорциональны; 7) a и b совпадают тогда и только тогда, когда rang A = 1. Угол между прямыми в пространстве. Определение 1. Углом между двумя прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным прямым. Пусть две прямые a и b в пространстве, в некоторой прямоугольной системе заданы каноническими уравнениями (1) и (2) из § 6. Угол j между прямыми a и b равен углу между их направляющими векторами s1 = (m1,k1,l1), s2 = (m2,k2,l2). По определению скалярного произведения векторов s1s2 = |s1|×| s2|cos j. Отсюда находим формулу косинуса угла между прямыми a и b: . (3) Заметим, что прямыми a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы s1 и s2 ортогональны. По условию ортогональности векторов последнее равносильно тому, что скалярное произведение s1s2 = 0. Так как s1s2 = m1m2+k1k2+l1l2, то получаем теорему. Теорема 2. Прямые a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда n1n2 = m1m2+k1k2+l1l2 = 0. (4) 22. Расстояние между двумя прямыми Определение 1. Расстоянием между двумя прямыми a и b называется кратчайшее расстояние между точками этих прямых Если прямые a и b пересекаются или совпадают, то расстояние между прямыми равно нулю. Если прямые параллельны или скрещиваются, то кратчайшее расстояние между ними равно длине общего перпендикуляра, проведенного к эти прямым. Пусть прямые a и b в пространстве, в некоторой прямоугольной системе заданы каноническими уравнениями (1) и (2) из § 6. Эти прямые a и b задаются своими направляющими векторами s1 = (m1,k1,l1), s2 = (m2,k2,l2) и точками M1(x1,y1,z1), M2(x1,y1,z1) которые принадлежат этим прямым, вектор . Рассмотрим два случая. Прямые a и b параллельны. Рассмотрим вектор = s1 и построим параллелограмм M1ABM2. Тогда расстояние d между прямыми a и b равно высоте h параллелограмма M1ABM2, опущенной на сторону M1A. По формуле площади S параллелограмма находим S = M1A× h. Далее по определению векторного произведения имеем S = | |. Следовательно, . Подставляя сюда координаты векторов получаем, что расстояние между параллельными прямыми находится по формуле. Прямые a и b скрещиваются. Через точки M1 и M2 проведем прямые a¢ и b¢ параллельные соответственно прямым a и b. От точки M1 отложим векторы, = s1 и = s2, на этих векторах построим параллелепипед M1AСBM2A¢B¢С¢. Расстояние между прямыми a и b равно расстоянию между плоскостями, в которых лежат основания M1AСB, M2A¢B¢С¢ параллелепипеда, т.е. равно высоте h параллелепипеда. С одной стороны, объем параллелепипеда M1AСBM2A¢B¢С¢ можно вычислить по формуле: V = Sh, где S - площадь основания M1AСB. С другой стороны, по свойству смешенного произведения V =. По определению векторного произведения S = . Отсюда получаем, что . Подставляя сюда координаты векторов получаем, что расстояние между скрещивающимися прямыми находится по формуле: . 23. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Пусть в пространстве прямя a, в некоторой аффинной системе координат задана параметрическими уравнениями: (1) плоскость a задана общим уравнением: a: Ax + By + Cz + D = 0. (2) Исследуем взаимное расположение прямой и плоскости. Для этого подставим из уравнений (1) в уравнения (2) и получим A(x0 + mt) + B(y0 + kt) + C(z0 + lt) + D = 0, (Am + Bk + Cl)t + Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. (3) Отсюда и из теоремы о линейном уравнении получаем следующую теорему. Теорема 1. Пусть дана прямая a и плоскость a, заданные соответственно уравнениями (1) и (2). Тогда справедливы следующие утверждения: 1) прямая и плоскость пересекаются тогда и только тогда, когда Am + Bk + Cl ¹ 0; (4) 2) прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда Am + Bk + Cl = 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D ¹ 0; (5) 5) прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда Am + Bk + Cl = 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. (6) Пусть в пространстве прямя a, в некоторой прямоугольной системе координат задана каноническими уравнениями: а:, (7) а плоскость a задана общим уравнением: a: Ax + By + Cz + D = 0. (8) Определение 1. Углом, между прямой а и плоскостью a, которые пересекаются, называется угол между прямой а и ее проекцией на плоскость a. Если прямая а и плоскость a параллельны, то угол считается равным нулю. Рассмотрим угол b между направляющим вектором s = (m,k,l) - прямой а и нормальным вектором n = (A,B,C) плоскости a. Тогда угол j между прямой а и плоскостью a равен j=p ¤ 2 - b. Тогда из формулы для скалярного произведения векторов находим, что sin j = cos b =. Отсюда находим, что . (9) Прямая а и плоскость a перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор s = (m,k,l) прямой a коллиниарен нормальному вектору n = (A,B,C) плоскости a. Последнее равносильно условию . Получаем условие перпендикулярности прямой и плоскости Am + Bk + Cl = 0. (10)