Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Как найти объём сосуда

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Как найти объём сосуда
Как найти объём сосуда

Понятие объёма

Можно провести аналогию понятия объема сосуда с понятием площади. Напомним, что понятие площади применимо к плоскости. Любой многоугольник имеет свою площадь.

В качестве единицы измерения площади принято брать квадрат со стороной, равной единице. В случае объёма за единицу измерения берут куб с ребром, равным единице. Этот куб называют кубическим сантиметром (метром, миллиметром и т. д.) и обозначают $1 см^3$ (соответственно, $1 м^3, 1 мм^3$ и т.п.).

Другую аналогию между площадью и объёмом можно провести в самой процедуре их измерения. Объём выражается положительным числом, показывающим количество единиц измерения объёмов и частей, которые укладываются в данном теле. Число единиц объёма тела зависит от выбранной единицы измерения, то есть меняется в зависимости от того, выбраны $cм^3, м^3$ и т.п. Единицу измерения традиционно указывают после числа.

Приведём простейший пример. $V=3 мм^3$ - эта запись означает, что объём некоторого сосуда равен 3-м, если в качестве единицы измерения взят кубический миллиметр.

Основные свойства объёмов:

  1. У равных сосудов равные объёмы.
  2. В случае, когда сосуд состоит из нескольких сосудов, то его объём равен сумме всех этих сосудов.

Эти свойства аналогичны свойствам длин отрезков и площадей многоугольников.

Часто требуется найти объём параллелепипеда, пирамиды, цилиндра, конуса и шара. Параллельно с формулами объёма дадим ключевые определения. Чтобы рассмотреть такую фигуру как параллелепипед, необходимо дать два важных определения:

  1. Многогранник - это тело, ограниченное несколькими многоугольниками (гранями). Стороны граней называют рёбрами, а концы рёбер - вершинами.
  2. Призма - это многогранник, который составлен из двух параллельных многоугольников (оснований призмы), вершины которых соединены параллельными и равными друг другу отрезками (боковыми ребрами призмы), образующими параллелограммы (боковые грани призмы).

Нахождение объёма параллелепипеда

Параллелепипед - это многогранник, составленный из 6-ти прямоугольников. Или это четырёхугольная призма, в которой основания - параллелограммы. Форму параллелепипеда имеют коробки, комнаты и многие другие предметы из нашей повседневной жизни.

В случае, когда у параллелепипеда боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований, а боковые грани и основания - прямоугольники, то этот параллелепипед называют прямоугольным (прямым).

Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда необходимы его измерения. Измерения параллелепипеда - это длины трёх рёбер с общей вершиной. В речи мы называем измерениями "длину", "ширину" и "высоту" (например, при измерении комнаты).

Определение 1

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: $V=abc$.

Если площадь основания $S=ac$, а высота $h=b$, то формула объёма может быть следующей: $V=Sh$.

Нахождение объёма пирамиды

Пирамида - это многогранник, образованный из $n$-угольника (в качестве основания) и треугольников (в качестве боковых граней), построенных путем соединения одной точки (вершины пирамиды) отрезками (боковыми рёбрами) с вершинами многоугольника.

Пирамида. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Пирамида. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Определение 2

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. В данном случае высота представляет собой перпендикулярный к плоскости основания отрезок, который соединяет вершину пирамиды с плоскостью её основания.

$V=\frac{Sh}{3}$.

Нахождение объёма цилиндра

Цилиндр - некоторое тело (или сосуд), полученное в результате вращения некоторого прямоугольника вокруг своей оси (одной из сторон прямоугольника).

Цилиндр. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Цилиндр. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Определение 3

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту: $V=Sh$.

Нахождение объёма конуса

Конус - это некоторое тело (сосуд), полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.

Конус. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Конус. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Определение 4

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту: $V=\frac{Sh}{3}$.

Нахождение объёма шара

Сфера - это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на равном расстоянии (радиусе) от данной точки (центра).

Сфера. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Сфера. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Шар - это некоторое тело (сосуд), которое ограничено сферой. Другой вариант определения: шар - это тело (сосуд), полученное в результате вращения полукруга вокруг диаметра этого полукруга.

Шар. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Шар. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Определение 5

Объём шара: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ - радиус шара.

Таким образом, мы перечислили все основные формулы объёма основных фигур в стереометрии.