Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Теорема о площади треугольника, теоремы синусов и косинусов

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Соотношения между сторонами и углами треугольника / Теорема о площади треугольника, теоремы синусов и косинусов
Теорема о площади треугольника, теоремы синусов и косинусов

Теорема о площади треугольника

Теорема 1

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между этими сторонами.

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины сторон этого треугольника как $BC=a$, $AC=b$. Введем декартову систему координат, так, что точка $C=(0,0)$, точка $B$ лежит на правой полуоси $Ox$, а точка $A$ лежит в первой координатной четверти. Проведем высоту $h$ из точки $A$ (рис. 1).

Иллюстрация теоремы 1

Рисунок 1. Иллюстрация теоремы 1

Готовые работы на аналогичную тему

В этой системе координат, получаем, что

Высота $h$ равняется ординате точки $A$, следовательно

Тогда

Теорема синусов

Теорема 2

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины сторон этого треугольника как $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (рис. 2).



Рисунок 2.

Докажем, что

По теореме 1, имеем

Приравнивая их попарно, и получим, что

Теорема косинусов

Теорема 3

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между этими сторонами.

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон как $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Введем декартову систему координат, так, что точка $A=(0,0)$, точка $B$ лежит на положительной полуоси $Ox$, а точка $C$ лежит в первой координатной четверти (рис. 3).



Рисунок 3.

Докажем, что

В этой системе координат, получаем, что

Найдем длину стороны $BC$ по формуле расстояния между точками

То есть

Пример задачи на использование данных теорем

Пример 1

Доказать, что диаметр описанной окружности произвольного треугольника равен отношению любой стороны треугольника к синусу противолежащего этой стороне угла.

Решение.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. $R$ - радиус описанной окружности. Проведем диаметр $BD$ (Рис. 4).



Рисунок 4.

Докажем, что $\frac{BC}{sinA}=2R$

Так как сторона $BD$ треугольника $DCB$ лежит на диаметре вписанной окружности, то он прямоугольный, следовательно, $sinD=\frac{BC}{BD}=\frac{BC}{2R}$.То есть

\[\frac{BC}{sinD}=2R\] \[\angle A={180}^0-\angle D\] \[sin\angle A={sin \left({180}^0-\angle D\right)\ }={sin \angle D\ }\]

Следовательно,

\[\frac{BC}{sinA}=2R\]

ч. т. д.

Пример 2

Найти третью сторону треугольника, если две его стороны равны 5 и 7, соответственно, а угол между ними равен ${60}^0.$

Решение.

Обозначим искомую сторону через $a$. Используя теорему 3, получим

\[a^2=25+49-70cos{60}^0=74-35=39\] \[a=\sqrt{39}\]

Ответ: $\sqrt{39}$.