Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Теорема о площади треугольника, теоремы синусов и косинусов

Все предметы / Математика / Соотношения между сторонами и углами треугольника / Теорема о площади треугольника, теоремы синусов и косинусов

Теорема о площади треугольника

Теорема 1

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между этими сторонами.

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины сторон этого треугольника как $BC=a$, $AC=b$. Введем декартову систему координат, так, что точка $C=(0,0)$, точка $B$ лежит на правой полуоси $Ox$, а точка $A$ лежит в первой координатной четверти. Проведем высоту $h$ из точки $A$ (рис. 1).

Иллюстрация теоремы 1

Рисунок 1. Иллюстрация теоремы 1

В этой системе координат, получаем, что

Высота $h$ равняется ординате точки $A$, следовательно

Тогда

Теорема синусов

Теорема 2

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины сторон этого треугольника как $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (рис. 2).



Рисунок 2.

Докажем, что

По теореме 1, имеем

Приравнивая их попарно, и получим, что

Теорема косинусов

Теорема 3

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между этими сторонами.

Готовые работы на аналогичную тему

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон как $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Введем декартову систему координат, так, что точка $A=(0,0)$, точка $B$ лежит на положительной полуоси $Ox$, а точка $C$ лежит в первой координатной четверти (рис. 3).



Рисунок 3.

Докажем, что

В этой системе координат, получаем, что

Найдем длину стороны $BC$ по формуле расстояния между точками

То есть

Пример задачи на использование данных теорем

Пример 1

Доказать, что диаметр описанной окружности произвольного треугольника равен отношению любой стороны треугольника к синусу противолежащего этой стороне угла.

Решение.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. $R$ - радиус описанной окружности. Проведем диаметр $BD$ (Рис. 4).



Рисунок 4.

Докажем, что $\frac{BC}{sinA}=2R$

Так как сторона $BD$ треугольника $DCB$ лежит на диаметре вписанной окружности, то он прямоугольный, следовательно, $sinD=\frac{BC}{BD}=\frac{BC}{2R}$.То есть

\[\frac{BC}{sinD}=2R\] \[\angle A={180}^0-\angle D\] \[sin\angle A={sin \left({180}^0-\angle D\right)\ }={sin \angle D\ }\]

Следовательно,

\[\frac{BC}{sinA}=2R\]

ч. т. д.

Пример 2

Найти третью сторону треугольника, если две его стороны равны 5 и 7, соответственно, а угол между ними равен ${60}^0.$

Решение.

Обозначим искомую сторону через $a$. Используя теорему 3, получим

\[a^2=25+49-70cos{60}^0=74-35=39\] \[a=\sqrt{39}\]

Ответ: $\sqrt{39}$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис