Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Формулы приведения, сумма, разность синусов и косинусов

Все предметы / Математика / Тригонометрические формулы / Формулы приведения, сумма, разность синусов и косинусов

Формулы приведения

Формулы приведения дают возможность находить значения тригонометрических функций для любых углов (а не только острых). С их помощью можно совершать преобразования, упрощающие вид тригонометрических выражений.



Рисунок 1.

Кроме формул приведения при решении задач используются следующие основные формулы.

1) Формулы одного угла:

2) Выражение одних тригонометрических функций через другие:

Замечание

В этих формулах перед знаком радикала должен быть поставлен знак $"+"$ или $"-"$ в зависимости от того, в какой четверти находится угол.

Сумма и разность синусов, сумма и разность косинусов

Формулы суммы и разности функций:

Кроме формул суммы и разности функций, при решении задач бывают полезны формулы произведения функций:

Основные соотношения между элементами косоугольных треугольников

Обозначения:

$a$, $b$, $c$ - стороны треугольника;

$A$, $B$, $C$ - противолежащие перечисленным сторонам углы;

$p=\frac{a+b+c}{2} $ - полупериметр;

$S$ - площадь;

$R$ - радиус описанной окружности;

$r$ - радиус вписанной окружности.

Основные соотношения:

1) $\frac{a}{\sin A} =\frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C} =2\cdot R$ - теорема синусов;

2) $a^{2} =b^{2} +c^{2} -2\cdot b\cdot c\cdot \cos A$ - теорема косинусов;

3) $\frac{a+b}{a-b} =\frac{tg\frac{A+B}{2} }{tg\frac{A-B}{2} } $ - теорема тангенсов;

4) $S=\frac{1}{2} \cdot a\cdot b\cdot \sin C=\sqrt{p\cdot \left(p-a\right)\cdot \left(p-b\right)\cdot \left(p-c\right)} =r\cdot p=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot R} $ - формулы площади.

Решение косоугольных треугольников

Решение косоугольных треугольников предполагает определение всех его элементов: сторон и углов.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 1

Даны три стороны $a$, $b$, $c$:

1) в треугольнике для вычисления углов можно применять только теорему косинусов, так как только главное значение арккосинуса находится в пределах $0\le \arccos x\le +\pi $, соответствующих треугольнику;

2) находим угол $A$, применив теорему косинусов $\cos A=\frac{b^{2} +c^{2} -a^{2} }{2\cdot b\cdot c} $, а затем обратную тригонометрическую функцию $A=\arccos \left(\cos A\right)$;

3) находим угол $B$, применив теорему косинусов $\cos B=\frac{a^{2} +c^{2} -b^{2} }{2\cdot a\cdot c} $, а затем обратную тригонометрическую функцию $B=\arccos \left(\cos B\right)$;

4) находим угол $C$ по формуле $C=180{}^\circ -\left(A+B\right)$.

Пример 2

Даны две стороны $a$, $b$ и угол $C$ между ними:

1) находим сторону $c$ по теореме косинусов $c^{2} =a^{2} +b^{2} -2\cdot a\cdot b\cdot \cos C$;

2) находим угол $A$, применив теорему косинусов $\cos A=\frac{b^{2} +c^{2} -a^{2} }{2\cdot b\cdot c} $, а затем обратную тригонометрическую функцию $A=\arccos \left(\cos A\right)$;

3) находим угол $B$ по формуле $B=180{}^\circ -\left(A+C\right)$.

Пример 3

Даны два угла $A$, $B$ и сторона $c$:

1) находим угол $C$ по формуле $C=180{}^\circ -\left(A+B\right)$;

2) находим сторону $a$ по теореме синусов $a=\frac{c\cdot \sin A}{\sin C} $;

3) находим сторону $b$ по теореме синусов $b=\frac{c\cdot \sin B}{\sin C} $.

Пример 4

Даны стороны $a$, $b$ и угол $B$, противолежащий стороне $b$:

1) записываем теорему косинусов $b^{2} =a^{2} +c^{2} -2\cdot a\cdot c\cdot \cos B$, используя заданные величины; отсюда получаем квадратное уравнение $c^{2} -\left(2\cdot a\cdot \cos B\right)\cdot c+\left(a^{2} -b^{2} \right)=0$ относительно стороны $c$;

2) решив полученное квадратное уравнение, теоретически можем получить один из трех случаев -- два положительных значения для стороны $c$, одно положительное значение для стороны $c$, отсутствие положительных значений для стороны $c$; соответственно и задача будет иметь два, одно или нуль решений;

3) используя конкретное положительное значение стороны $c$, находим угол $A$, применив теорему косинусов $\cos A=\frac{b^{2} +c^{2} -a^{2} }{2\cdot b\cdot c} $, а затем обратную тригонометрическую функцию $A=\arccos \left(\cos A\right)$;

4) находим угол $C$ по формуле $C=180{}^\circ -\left(A+B\right)$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис