Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Тригонометрические формулы

Все предметы / Математика / Тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы основаны на тригонометрических функциях (ТФ) углов.

Угол - есть фигура, образованная двумя двумя лучами $OA$ и $OB$ (стороны угла), исходящими из одной точки $O$ (вершина угла).



Рисунок 1.

Мерой угла служит величина поворота вокруг вершины $O$, переводящего луч $OA$ в положение $OB$.

Распространены две системы измерения углов: градусная и радианная.

В градусной системе измерения углов за единицу принимается поворот луча на $1/360$ часть одного полного оборота -- градус (обозначение ${}^\circ $). Полный оборот составляет, таким образом, $360{}^\circ $. Градус делится на 60 минут (обозначение $'$); минута -- на 60 секунд (обозначение $''$).

В радианной системе измерения углов за единицу измерения принимается острый угол ($MON$), под которым видна из центра окружности её дуга $MN$, равная радиусу ($\mathop{MN}\limits^{\cup } =OM$). Такой угол называется радианом.



Рисунок 2.

Теперь допустим, что угол $MON$ -- произвольный. Тогда радианная мера этого угла равна отношению длины дуги $\mathop{MN}\limits^{\cup } $, описанной произвольным радиусом из центра $O$ и заключенной между сторонами угла, к радиусу $OM$ этой дуги.

Мера угла считается положительной, если вращение луча (радиуса $OM$) совершается против часовой стрелки, и отрицательной -- в противном случае.

Переход от одного измерения к другому осуществляется по формулам: $\alpha {}^\circ =\frac{180}{\pi } \cdot \alpha$ или $\alpha =\frac{\pi }{180} \cdot \alpha {}^\circ $.

Готовые работы на аналогичную тему

Полезно помнить следующую таблицу градусной и радианной меры некоторых часто встречающихся углов:



Рисунок 3.

Определение синуса, косинуса и тангенса, знаки синуса, косинуса и тангенса

ТФ острого угла можно определить из прямоугольного треугольника:



Рисунок 4.

Из этой таблицы видно, как через синус и косинус можно выразить все остальные функции: $tgA=\frac{\sin A}{\cos A} $; $ctgA=\frac{\cos A}{\sin A} $; $scA=\frac{1}{\cos A} $; $\csc A=\frac{1}{\sin A} $.

Полезно помнить значения основных ТФ для часто встречающихся значений углов:



Рисунок 5.

ТФ приписывается определенный знак в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического круга лежит подвижный радиус $OC$, образующий угол с неподвижным радиусом $OA$:



Рисунок 6.

Обратные тригонометрические функции (ОТФ)

ОТФ называются угловые величины $y$ (в радианах), определяемые следующими равенствами и указываемые с прописной буквы:

$y=Arc\sin x$, если $x=\sin y$ -- арксинус;

$y=Arc\cos x$, если $x=\cos y$ -- арккосинус;

$y=Arctgx$, если $x=tgy$ -- арктангенс;

$y=Arcctgx$, если $x=ctgy$ -- арккотангенс.

ОТФ многозначны. Поэтому из всего множества значений каждой из них выделяют главные, а наименования указывают со строчной буквы:



Рисунок 7.

Пример 1

$arc\sin \frac{\sqrt{3} }{2} =\frac{\pi }{3} $, так как $\sin \frac{\pi }{3} =\frac{\sqrt{3} }{2} $ и $\frac{\pi }{3} \in \left[-\frac{\pi }{2} ;\; \frac{\pi }{2} \right]$.

Пример 2

$\arccos \left(-\frac{1}{2} \right)=\frac{2\cdot \pi }{3} $, так как $\cos \frac{2\cdot \pi }{3} =-\frac{1}{2} $ и $\frac{2\cdot \pi }{3} \in \left[0;\; \pi \right]$.

Пример 3

$arctg1=\frac{\pi }{4} $, так как $tg\frac{\pi }{4} =1$ и $\frac{\pi }{4} \in \left(-\frac{\pi }{2} ;\; \frac{\pi }{2} \right)$.

Пример 4

$arcctg\sqrt{3} =\frac{\pi }{6} $, так как $ctg\frac{\pi }{6} =\sqrt{3} $ и $\frac{\pi }{6} \in \left(0;\; \pi \right)$.

Связь между значениями ОТФ и их главными значениями представляется следующими формулами:

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис