Формулы половинного угла в тригонометрии — это формулы, в которых тригонометрические функции угла выражаются через угол, меньше исходного в два раза.
Иначе формулы половинного угла также называют тригонометрическими формулами понижения степени.
Формулы половинного аргумента для синуса и косинуса выводятся с помощью формул двойного аргумента.
Формула синуса половинного угла выглядит так:
$\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$.
Формула косинуса половинного угла:
$\cos^2{\frac{x}{2}}=\frac{\cos x+1}{2}$.
Синус и косинус половинного угла используются для вывода формулы тангенса половинного угла:
$\mathrm{tg}^2{\frac{x}{2}}=\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ — тангенс половинного угла.
Котангенс половинного угла выводится аналогичным образом:
$\mathrm{ctg}^2{\frac{x}{2}}=\frac{\cos^2\frac{x}{2}}{\sin^2\frac{x}{2}}=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}$.
Упростите выражения:
1)$\frac{1-\cos {2α}}{\sin {2α}}$ 2) $2 \cdot \sin{\frac{α}{2}}+ \cos α$.
Решение:
Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами двойного аргумента для синуса и косинуса, а затем для числителя применим основное тригонометрическое тождество:
$\frac{1-\cos {2α}}{\sin {2α}}=\frac{1-\cos^2 α + \sin^2 α}{2 \cdot \sin α \cdot cos α}=\frac{2\cdot \sin^2 α}{2 \cdot \sin α \cdot cos α}=\frac{ \sin α}{\cos α}= \mathrm{tg} α$.
Воспользуемся формулой половинного аргумента для синуса в этом примере:
$2 \cdot \sin{\frac{α}{2}}+ \cos α=2 \cdot \frac{1-\cos α}{2}+\cos α=1- \cos α + \cos α=1$.
