Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Формула половинного угла

Все предметы / Математика / Формула половинного угла
Определение 1

Формулы половинного угла в тригонометрии — это формулы, в которых тригонометрические функции угла выражаются через угол, меньше исходного в два раза.

Иначе формулы половинного угла также называют тригонометрическими формулами понижения степени.

Формулы половинного аргумента для синуса и косинуса выводятся с помощью формул двойного аргумента.

Формула синуса половинного угла выглядит так:

$\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$.

Формула косинуса половинного угла:

$\cos^2{\frac{x}{2}}=\frac{\cos x+1}{2}$.

Синус и косинус половинного угла используются для вывода формулы тангенса половинного угла:

$\mathrm{tg}^2{\frac{x}{2}}=\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ — тангенс половинного угла.

Котангенс половинного угла выводится аналогичным образом:

$\mathrm{ctg}^2{\frac{x}{2}}=\frac{\cos^2\frac{x}{2}}{\sin^2\frac{x}{2}}=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}$.

Пример 1

Упростите выражения:

1)$\frac{1-\cos {2α}}{\sin {2α}}$ 2) $2 \cdot \sin{\frac{α}{2}}+ \cos α$.

Решение:

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами двойного аргумента для синуса и косинуса, а затем для числителя применим основное тригонометрическое тождество:

$\frac{1-\cos {2α}}{\sin {2α}}=\frac{1-\cos^2 α + \sin^2 α}{2 \cdot \sin α \cdot cos α}=\frac{2\cdot \sin^2 α}{2 \cdot \sin α \cdot cos α}=\frac{ \sin α}{\cos α}= \mathrm{tg} α$.

Воспользуемся формулой половинного аргумента для синуса в этом примере:

$2 \cdot \sin{\frac{α}{2}}+ \cos α=2 \cdot \frac{1-\cos α}{2}+\cos α=1- \cos α + \cos α=1$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис