Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Формулы приведения

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Формулы приведения
Формулы приведения
Определение 1

Формулы приведения — это закономерности, которые позволяют перейти от выражений вида $f(\frac{πn}{2} ± α)$ и $f(πn ± α)$, где в качестве $f$ могут быть $sin, cos, tg$ или $ctg$ к закономерностям вида $f(α)$, в которых в качестве $f$ также выступают $sin, cos, tg$ или $ctg$.

Эти формулы называются тригонометрическими формулами приведения, так как они позволяют перейти от угла вида $\frac{πn}{2} ± α$ и $πn ± α$ к просто углу $α$, то есть вычислять тригонометрические функции используя значения только от $-π$ до $π$. А так как функция синуса нечётная и косинуса чётная, достаточно знать значения этих функций на отрезке $\left[0;π\right]$.

Из анализа графиков тригонометрических функций получается, что так как $sin(π-α) = sinα$ и $cos(π-α)=-cos α$, можно помнить только значения этих функций на отрезке $\left[0;\frac{π}{2}\right]$, следовательно, остаётся определиться только со знаками для функций по четвертям.

Для выражений, где угол задан в виде $\frac{πn}{2} ± α$, при этом $n$ — нечётное, необходимо сменить тригонометрическую функцию с синуса на косинус и с тангенса на котангенс и наоборот, тогда как в случае если угол задан как выражение вида $πn ± α$, где $n$ — целое, функция не меняется.

Знак перед значением тригонометрических функций

Знак конечного значения меняется в зависимости от того, в какой четверти находится угол, определить его можно соответственно рисунку:

Знаки тригонометрических функций по четвертям окружности

Рисунок 1. Знаки тригонометрических функций по четвертям окружности

Для того чтобы понять, какой знак должен стоять у синуса или косинуса, достаточно помнить, что синусу соответствует координата $y$ на единичной окружности, тогда как косинусу — координата $x$. Соответственно, синус будет положительным, если угол находится в $I$ или $II$ четвертях, а косинус будет положительным для первой и четвёртой четверти.

Чтобы определиться со знаком конечной полученной функции, достаточно посмотреть на знак той функции, которая была изначально, то есть на знак приводимой функции. То есть если изначальное угол такой, что значение приводимой тригонометрической функции отрицательное, то и перед приведённой функцией будет этот же знак.

Наиболее частые формулы приведения тригонометрических функций

$sin(\frac{π}{2}- α)=cos α$

$sin(\frac{π}{2}+α)=cos α$

$sin(π- α)=sin α$

$sin(π + α)=-sin α$

$sin(\frac{3π}{2}- α)=-cos α$

$sin(\frac{3π}{2}+α)=-cos α$

$sin(2π- α)=-sin α$

$sin(2π+ α)=sin α$

$cos(\frac{π}{2}- α)=sin α$

$cos(\frac{π}{2}+ α)=-sin α$

$cos(π- α)=-cos α$

$cos(π+ α)=-cos α$

$cos(\frac{3π}{2}-α)=-sin α$

$cos(\frac{3π}{2}+α)=sin α$

$cos(2π- α)=cos α$

$cos(2π+ α)=cos α$

Пример 1

Напишите формулы приведения для следующих выражений:

  1. $sin(\frac{3π}{2}- α);$

  2. $cos(π+ α)$.

Так как в первом примере угол имеет вид $\frac{3π}{2}- α$, т.е. содержит компоненту $\frac{π}{2}$, при которой стоит нечётный множитель $n$, то функция меняется с синуса на косинус. Теперь смотрим на то, в какой четверти расположен полный угол. Он принадлежит третьей четверти, а это значит, что конечный знак будет отрицательным. Следовательно, запишем:

$sin(\frac{3π}{2}- α)= -cos α$.

Во втором примере функция косинуса сохраняется, а сам угол лежит в третьей четверти, значит, его косинус будет отрицательным, и формула приведения в этом случае будет такая:

$cos(π+ α)=-cos α$.