Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Производная неявной функции

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Производная неявной функции
Определение

Если функция вида $y=y(x)$ задана уравнением $F(x;y(x)) = 0$, то функция является неявно заданной.

Для нахождения неявной функции необходимо выполнить следующие действия:

  1. Продифференцировать обе части уравнения по х.
  2. Поскольку $у$ -- дифференцируемая функция, для ее нахождения используется правило вычисления производной сложной функции.
  3. В правой части уравнения должно получится значение 0.
Примечание

Это значит перенести все слева направо и привести к уравнению вида $F(x;y(x)) = 0$.

  1. Решить полученное уравнение относительно $y'(x)$.
Пример 1

Найти производную неявной функции.

\[2x^{3} y-4y=3x\]

Решение.

  1. Приведем функцию к виду $F(x;y(x)) = 0$, для чего необходимо перенести все влево и приравнять к 0.
  2. \[2x^{3} y-4y-3x=0\]
  3. Продифференцируем полученное равенство
  4. \[\left(2x^{3} y-4y-3x\right){{'} } =0'\]
  5. По свойству линейности:
  6. \[2\left(x^{3} y\right){{'} } -4y'-3x'=0'\]
  7. Первое слагаемое -- сложная функция
  8. \[2\left(x^{3} y\right){{'} } -4y'-3x'=0'\] \[2\cdot 3x^{2} y'-4y'-3=0\]
  9. Решаем уравнение относительно $y'$
  10. \[y'(6x^{2} -4)=3\] \[y'=\frac{3}{6x^{2} -4} \]
Пример 2

Найти вторую производную неявной функции.

\[x^{3} -xy^{2} =2\]

Решение.

  1. Приведем функцию к виду $F(x;y(x)) = 0$
  2. \[x^{3} -xy^{2} -2=0\]
  3. Продифференцируем полученное равенство
  4. \[\left(x^{3} -xy^{2} -2\right){{'} } =0'\]
  5. По свойству линейности:
  6. \[x^{3} {{'} } -\left(xy^{2} \right){{'} } -2'=0'\]
  7. Второе слагаемое -- сложная функция
  8. \[3x^{2} -\left(x'y^{2} +xy^{2} {{'} } \right)=0\] \[3x^{2} -y^{2} -2xy\cdot y{{'} } =0\]
  9. Выразим $y'$
  10. \[y{{'} } =\frac{y^{2} -3x^{2} }{2xy} \]
  11. Продифференцируем полученное выражение повторно
  12. \[3\left(x^{2} \right){{'} } -\left(y^{2} \right){{'} } +2\left(xy\cdot y{{'} } \right){{'} } =0\] \[6x-2y\cdot y{{'} } +2\left(xy'\cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\] \[6x-2y\cdot y{{'} } +2\left(\left(x'y+xy'\right)\cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\] \[6x-2y\cdot y{{'} } +2\left(\left(y+xy'\right)\cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\]
  13. Упростим
  14. \[6x-2y\cdot y{{'} } +2\left(yy{{'} } +xy'y+xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\]
  15. Заменим $y'$ полученным выше выражением
  16. \[6x-2y\cdot \frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2xy} +2\left(y\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2xy} +xy\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2xy} +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\] \[6x-\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{x} +2\left(\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2x} +\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2} +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\]
  17. Приведем выражение к общему знаменателю и упростим
  18. \[6x-\frac{6x^{2} -2y^{2} -4}{2x} +2\left(\frac{3x^{2} -y^{2} -2}{2x} +\frac{3x^{3} -xy^{2} -2x}{2x} +\frac{2x^{2} y\cdot y{{'} } {{'} } }{2x} \right)=0\] \[6x-\frac{6x^{2} -2y^{2} -4}{2x} +\left(\frac{6x^{2} -2y^{2} -4+6x^{3} -2xy^{2} -4x+4x^{2} y\cdot y{{'} } {{'} } }{2x} \right)=0\] \[\frac{-6x^{2} -2y^{2} -4+6x^{2} -2y^{2} -4+6x^{3} -2xy^{2} -4x+4x^{2} y\cdot y{{'} } {{'} } }{2x} =6x\] \[-4y^{2} -8+6x^{3} -2xy^{2} -8x+4x^{2} y\cdot y{{'} } {{'} } =6x\] \[y{{'} } {{'} } =\frac{14x+4y^{2} +8-6x^{3} +2xy^{2} }{4x^{2} y} \]
Пример 3

Найти вторую производную неявной функции.

\[\log _{4} \left(\frac{4x^{2} }{y} \right)=4\]

Решение.

  1. Приведем функцию к виду $F(x;y(x)) = 0$
  2. \[\log _{4} \left(\frac{4x^{2} }{y} \right)-4=0\]
  3. Продифференцируем полученное равенство
  4. \[\left(\log _{4} \left(\frac{4x^{2} }{y} \right)\right){{'} } -4'=0\] \[\frac{1}{\frac{4x^{2} }{y} \ln 4} \cdot \left(\frac{4x^{2} }{y} \right){{'} } =0\] \[\frac{y}{4x^{2} \ln 4} \cdot \frac{8xy-4x^{2} y'}{y^{2} } =0\]
  5. Упростим
  6. \[\frac{8xy-4x^{2} y'}{4yx^{2} \ln 4} =0\]
  7. Выразим $y'$
  8. \[\frac{8xy}{4yx^{2} \ln 4} -\frac{4x^{2} y'}{4yx^{2} \ln 4} =0\] \[\frac{4x^{2} y'}{4yx^{2} \ln 4} =\frac{8xy}{4yx^{2} \ln 4} \] \[y'=\frac{8xy4yx^{2} \ln 4}{4x^{2} 4yx^{2} \ln 4} \] \[y'=\frac{2y}{x} \]