Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Производные различных порядков от неявных функций

Все предметы / Математика / Производная и дифференциал / Производные различных порядков от неявных функций

Как найти первую и вторую производные параметрической функции

Параметрическое представление функциональной зависимости y от x для функции y = f(x) имеет вид:

Пусть функции x = x(t) и y = y(t) определены и непрерывны на интервале изменения параметра t. Продифференцируем данные функции.

Для нахождения первой производной необходимо разделить второе уравнение на первое:

Для нахождения второй производной:

Пример 1

Найти вторую производную параметрической функции

\[\left\{\begin{array}{l} {x=\ln t} \\ {y=3t^{2} } \end{array}\right. \]

Решение.

  1. Найдем первую производную по формуле:
  2. \[y'_{x} =\frac{y'_{t} }{x'_{t} } \] \[y'_{t} =\left(t^{3} \right)^{{'} } =6t x'_{t} =\left(\ln t\right)^{{'} } =\frac{1}{t} \] \[y'_{x} =\frac{6t}{\frac{1}{t} } =6t^{2} \]
  3. Найдем вторую производную
  4. \[y''_{xx} =\left(6t^{2} \right)^{{'} } =12t\]

Что такое неявно заданная функция, и как ее найти

Определение

Если функция вида y=y(x) задана уравнением F(x;y(x)) = 0, то функция является неявно заданной.

Для нахождения дифференциала неявной функции необходимо выполнить следующие действия:

  1. Продифференцировать обе части уравнения по х.
  2. Поскольку у -- дифференцируемая функция, для ее нахождения используется правило вычисления производной сложной функции.
  3. В правой части уравнения должно получится значение 0.
Примечание

Это значит перенести все слева направо и привести к уравнению вида F(x;y(x)) = 0

  1. Решить полученное уравнение относительно y`(x)

Пусть неявная функция у от x определяется равенством:

\[\frac{x^{2} }{a^{2} } +\frac{y^{2} }{b^{2} } -1=0\]

Дифференцируем по x все члены этого равенства:

\[\frac{2x}{a^{2} } +\frac{2ydy}{b^{2} dx} =0\] \[\frac{dy}{dx} =-\frac{b^{2} x}{a^{2} y} \]

Последнее равенство снова дифференцируем по х:

\[\frac{d^{2} y}{dx^{2} } =-\frac{b^{2} (y-x)\frac{dy}{dx} }{a^{2} y} \]

Заменим производную dy/dx ее выражением:

\[\frac{d^{2} y}{dx^{2} } =-\frac{b^{2} (y+x)\frac{b^{2} }{a^{2} } \frac{x}{y} }{a^{2} y} \] \[\frac{d^{2} y}{dx^{2} } =-\frac{b^{2} \left(a^{2} y^{2} +b^{2} x^{2} \right)}{a^{4} y^{3} } \]

Поскольку $a^2y^2 + b^2x^2 = a^2b^2$, вторую производную можно представить в виде

\[\frac{d^{2} y}{dx^{2} } =\frac{b^{4} }{a^{2} y^{3} } \]

Дифференцируя по х последнее равенство, найдем $\frac{d^{3} y}{dx^{3} } $ и т. д.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 2

Найти вторую производную неявно заданной функции

\[2x^{3} -xy^{2} =4\]

Решение.

  1. Перенесем все части выражения в левую часть, приравняем к нулю и продифференцируем:
  2. \[\left(2x^{3} -xy^{2} -4\right)^{{'} } =0\] \[\left(2x^{3} \right)^{{'} } -\left(xy^{2} \right)^{{'} } -\left(4\right)^{{'} } =0\] \[6x^{2} -\left(x'y^{2} +x\left(y^{2} \right)^{{'} } \right)=0\] \[6x^{2} -y^{2} -2xyy'=0\]
  3. Выразим y`
  4. \[y'=\frac{6x^{2} -y^{2} }{2xy} \]
  5. Повторно дифференцируем равенство
  6. \[\left(6x^{2} -y^{2} -2xyy'\right)^{{'} } =12x-2y-2\left(xy\right)^{{'} } y'-2xyy'\] \[12x-2y-2\left(xy\right)^{{'} } y-2xyy'=12x-2y-2x'y'-2xy'-2xyy''\] \[12x-2y-2x'y'-2xy'-2xyy''=12x-2y-2y'-2xy'-2xyy''\]
  7. Выполним замену y`
  8. \[12x-2y-2\frac{6x^{2} -y^{2} }{2xy} -2x\frac{6x^{2} -y^{2} }{2xy} -2xyy''=0\]
  9. Упростим
  10. \[\frac{12x^{2} y-2xy^{2} }{xy} -\frac{6x^{2} -y^{2} }{xy} -\frac{6x^{3} -y^{2} }{xy} -2xyy''=0\] \[\frac{12x^{2} y-2xy^{2} -6x^{2} +2y^{2} -6x^{3} }{xy} -2xyy''=0\]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис