Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Правила вычисления производных

Правила нахождения производных сводятся к умению применять формулы основных алгебраических действий над функциями. К правилам относятся:

  1. Правило производной суммы
  2. $$y' = (fx_1 + fx_2 + \dots + fx_n)' = (fx'_1+fx'_2+\dots +fx'_n)$$
  3. Правило производной разности
  4. $$y' = (fx_1 - fx_2 - \dots - fx_n)' = (fx'_1-fx'_2-\dots -fx'_n)$$
  5. Производная произведения
  6. $$y' = (fx_1 \cdot fx_2 \cdot \dots \cdot fx_n) = fx'_1 fx_2 fx_3 \dots fx_n + fx_1 fx'_2 fx_3 \dots fx_n + \dots + fx_1 fx_2 fx_3 \dots fx'_n$$
  7. Производная частного
  8. \[y'=\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} \right)^{{'} } =\frac{f\left(x\right)^{{'} } g\left(x\right)-g\left(x\right)^{{'} } f\left(x\right)}{g^{2} \left(x\right)} \]
Пример 1

Вычислить по правилу разности производную

\[y=x^{3} -2\sqrt[{3}]{x} -4e^{x} -\ln x\]

Решение.

  1. По правилу разности: производная разности функций есть разность их производных.
  2. \[y'=\left(x^{3} -2\sqrt[{3}]{x} -4e^{x} -\ln x\right)^{{'} } =\left(x^{3} \right)^{{'} } -\left(2\sqrt[{3}]{x} \right)^{{'} } -\left(4e^{x} \right)^{{'} } -\left(\ln x\right)^{{'} } \]
  3. Разберем нахождение производной каждого слагаемого.
    1. Производная степени находится по формуле:
    2. \[a^{n} =n\cdot a^{n-1} \] \[\left(x^{3} \right)^{{'} } =3x^{2} \]
    3. Производную корня можно найти через производную степени по выше указанной формуле, вынося числовой множитель за знак производной.
    4. \[\left(2\sqrt[{3}]{x} \right)^{{'} } =2\left(\sqrt[{3}]{x} \right)^{{'} } =2\left(x^{\frac{1}{3} } \right)^{{'} } =2\cdot \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3} } =\frac{2}{3\sqrt[{3}]{x^{2} } } \]
    5. Производная постоянной е неизменна:
    6. \[e^{x'} =e^x \] \[\left(4e^{x} \right)^{{'} } =4\left(e^{x} \right)^{{'} } =4e^{x} \]
    7. Производная натурального логарифма:
    8. \[\left(\ln x\right)^{{'} } =\frac{1}{x} \]
  4. Запишем результат нахождения производной функций
  5. \[y'=\left(x^{3} \right)^{{'} } -\left(2\sqrt[{3}]{x} \right)^{{'} } -\left(4e^{x} \right)^{{'} } -\left(\ln x\right)^{{'} } =3x^{2} -\frac{2}{3\sqrt[{3}]{x^{2} } } -4e^{x} -\frac{1}{x} \]
Пример 2

Вычислить по правилу суммы производную

\[y=\arcsin x+\arccos x+arctgx\]

Решение.

  1. По правилу суммы: производная суммы функций есть сумма их производных.
  2. \[y'=\left(\arcsin x+\arccos x+arctgx\right)^{{'} } =\arcsin x'+\arccos x'+arctgx'\]
  3. Разберем нахождение производной каждого слагаемого.
    1. Производная арксинуса:
    2. \[\arcsin x'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } \]
    3. Производная арккосинуса:
    4. \[\arccos x'=-\frac{1}{1-x^{2} } \]
    5. Производная арктангенса:
    6. \[arctgx'=\frac{1}{1+x^{2} } \]
  4. Запишем результат нахождения производной функций
  5. \[y'=\arcsin x'+\arccos x'+arctgx'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } -\frac{1}{1-x^{2} } +\frac{1}{1+x^{2} } \]
Пример 3

Найти производную

\[y=\sin x\cdot \cos x\cdot tgx\cdot ctgx\]

Решение:

  1. По правилу производной произведения:
  2. $$y' = (fx_1 \cdot fx_2 \cdot \dots \cdot fx_n) = fx'_1 fx_2 fx_3 \dots fx_n + fx_1 fx'_2 fx_3 \dots fx_n + \dots + fx_1 fx_2 fx_3 \dots fx'_n$$ \[y'=\left(\sin x\cdot \cos x\cdot tgx\right)^{{'} } =\sin x'\cdot \cos x\cdot tgx+\sin x\cdot \cos x'\cdot tgx+\sin x\cdot \cos x\cdot tgx'=\]
  3. Найдем производные множителей
  4. \[y'=\cos x\cdot \cos x\cdot tgx-\sin x\cdot \sin x\cdot tgx+\sin x\cdot \frac{\cos x}{\cos ^{2} x} =\cos ^{2} x\cdot tgx-\sin x^{2} \cdot tgx+\frac{\sin x}{\cos x} =\]
  5. Упростим выражение
  6. \[y'=tgx\left(\cos ^{2} x-\sin x^{2} \right)+tgx=tgx+tgx=2tgx\]

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 4

Найти производную

\[y=\frac{2x^{2} -3}{x^{3} } \]

Решение:

  1. По правилу производной частного
  2. \[y'=\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} \right)^{{'} } =\frac{f\left(x\right)^{{'} } g\left(x\right)-g\left(x\right)^{{'} } f\left(x\right)}{g^{2} \left(x\right)} \] \[y'=\left(\frac{2x^{2} -3}{x^{3} } \right)^{{'} } =\frac{x^{3} \cdot \left(2x^{2} -3\right)^{{'} } -\left(x^{3} \right)^{{'} } \cdot \left(2x^{2} -3\right)}{\left(x^{3} \right)^{2} } \]
  3. Вычислим производные простых множителей
  4. \[y'=\left(\frac{2x^{2} -3}{x^{3} } \right)^{{'} } =\frac{x^{3} \cdot 4x-3x^{2} \cdot \left(2x^{2} -3\right)}{\left(x^{3*2} \right)^{} } =\frac{4x^{4} -6x^{4} -9x^{2} }{x^{3*2} } =\]
  5. Упростим выражение
  6. \[y'=\frac{-2x^{4} -9x^{2} }{x^{5} } =\frac{-x^{2} (2x^{2} +9)}{x^{3*2} } =-\frac{2x^{2} +9}{x^{3} } \]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис