Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Начнем с того, что на практике наибольший интерес применение производной представляет для нахождения наибольшего и наименьшего значений заданной функции.

При этом наибольшее и наименьшее значения заданной функции, как правило, разыскивается на некотором интервале, который является или всей областью определения заданной функции или ее некоторой частью. Различают несколько видов рассматриваемых интервалов:

отрезок $[a;b]$;
открытый интервал: $(a;b),(a;b],[a;b)$;
бесконечный промежуток $(-\infty ;a),(-\infty ;a],(a;+\infty ),[a;+\infty ),(-\infty ;+\infty )$.

Функция $y=f(x)$, определенная и непрерывная на некотором отрезке, достигает на данном отрезке своих наибольшего и наименьшего значений.

Определение 1

Наибольшее значение заданной функции $y=f(x)$ на некотором промежутке $X$ - это такое значение функции, для которого выполняется неравенство $\forall x\in X,x\ne x_{0} :\, \, f(x)\le f(x_{0} )$. Обозначается следующим образом: $\mathop{\max }\limits_{x\in X} y=f(x_{0} )$.

Определение 2

Наименьшее значение заданной функции $y=f(x)$ на некотором промежутке $X$ - это такое значение функции, для которого выполняется неравенство $\forall x\in X,x\ne x_{0} :\, \, f(x)\ge f(x_{0} )$. Обозначается следующим образом: $\mathop{\min }\limits_{x\in X} y=f(x_{0} )$.

Другими словами:

наибольшее значение заданной функции $y=f(x)$ -- это самое большое значение, принимаемое на рассматриваемом интервале при $x=x_{0} $;
наименьшее значение заданной функции $y=f(x)$ -- это самое маленькое значение, принимаемое на рассматриваемом интервале при $x=x_{0} $.

При нахождении наибольшего и наименьшего значений заданной функции рассматриваются стационарные и критические точки.

Определение 3

Стационарная точка -- это значение аргумента $x$, при котором производная заданной функции $y=f(x)$ обращается в ноль, т.е. $f'(x)=0$.

«Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Определение 4

Критическая точка -- это значение аргумента $x$, при котором производная заданной функции $y=f(x)$ не существует, однако сама функция в данной точке определена.

Пример 1

Найти стационарные точки заданной функции: $y=4x^{2} +4$.

Решение:

Первая производная: $y'=(4x^{2} +4)'=8x$

\[y'=0;\, \, \, \, 8x=0\Rightarrow x=0\]

$x=0$ - стационарная точка

Пример 2

Найти критические точки заданной функции: $y=\frac{1}{x} $.

Решение:

Первая производная: $y'=\left(\frac{1}{x} \right)'=-\frac{1}{x^{2} } $

Производная не существует при $x=0$. Следовательно, $x=0$ - критическая точка.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения заданной функции на некотором отрезке:

нахождение области определения заданной функции, проверка, содержится ли в области определения весь рассматриваемый отрезок;
нахождение критических точек, содержащихся в рассматриваемом отрезке;
нахождение стационарных точек, содержащихся в рассматриваемом отрезке;
вычисление значений заданной функции в стационарных точках, в критических точках и на концах отрезка.
выбор наибольшего и наименьшего значений среди вычисленных.

Пример 3

Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции: $y=4x^{2} +4$ на отрезке $[-1;2]$.

Решение:

Заданная функция определена на всей числовой прямой, следовательно, рассматриваемый отрезок содержится в области определения.
Первая производная: $y'=(4x^{2} +4)'=8x$

Производная существует во всех точках области определения, следовательно, критических точек нет.

$y'=0;\, \, \, \, 8x=0\Rightarrow x=0$. Следовательно, $x=0$ - стационарная точка (принадлежит отрезку)
Вычислим значения заданной функции в точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-1;x=2$.

\[y(0)=4\cdot 0^{2} +4=0+4=4\] \[y(-1)=4\cdot (-1)^{2} +4=4+4=4\] \[y(2)=4\cdot 2^{2} +4=16+4=20\]

Вывод:

Наибольшее значение заданной функции на отрезке $[-1;2]$: $y(2)=20$.

Наименьшее значение заданной функции на отрезке $[-1;2]$: $y(0)=y(-1)=4$.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения заданной функции на некотором открытом или бесконечном интервале:

нахождение области определения заданной функции, проверка, является ли в рассматриваемый интервал подмножеством области определения;
нахождение критических точек, содержащихся в рассматриваемом интервале;
нахождение стационарных точек, содержащихся в рассматриваемом интервале;
вычисление значений заданной функции в стационарных точках и в критических точках.
вычисление значений заданной функции на концах интервала;
выбор наибольшего и наименьшего значений среди вычисленных.

Примечание 1

Вычисление значений заданной функции на концах интервала зависит от вида рассматриваемого интервала. Если рассматриваемый интервал имеет вид:

$[a;b)$, то вычисляются значение заданной функции в точке $x=a$ и односторонний предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to b-0} f(x)$; $(a;b]$, то вычисляются значение заданной функции в точке $x=b$ и односторонний предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} f(x)$; $(a;b)$, то вычисляются односторонние пределы $\mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} f(x)$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to b-0} f(x)$; $[a;+\infty )$, то вычисляются значение заданной функции в точке $x=a$ и предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } f(x)$; $(a;+\infty )$, то вычисляются односторонний предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} f(x)$ и предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } f(x)$; $(-\infty ;b]$, то вычисляются значение заданной функции в точке $x=b$ и предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } f(x)$; $(-\infty ;b)$, то вычисляются односторонний предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to b-0} f(x)$ и предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } f(x)$; $(-\infty ;+\infty )$, то вычисляются пределы $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } f(x)$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } f(x)$. \end{enumerate}

Пример 4

Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции: $y=\frac{4}{x-2} $ на интервале $[3;+\infty )$.

Решение:

нахождение области определения заданной функции, проверка, является ли в рассматриваемый интервал подмножеством области определения;

Область определения заданной функции: $D_{y} =\{ x\in R|x\ne 2\} $.

Рассматриваемый интервал является подмножеством области определения.

нахождение критических точек, содержащихся в рассматриваемом интервале;

Первая производная: $y'=\left(\frac{4}{x-2} \right)'=\frac{0\cdot (x-2)-4\cdot 1}{(x-2)^{2} } =-\frac{4}{(x-2)^{2} } $.

Производная не существует в точке $x=2$ (критическая точка).

нахождение стационарных точек, содержащихся в рассматриваемом интервале;

Производная не обращается в ноль, следовательно, стационарных точек нет.

вычисление значений заданной функции в стационарных точках и в критических точках.

Нет вычислений, так как точки отсутствуют.

вычисление значений заданной функции на концах интервала;

\[y(3)=\frac{4}{3-2} =\frac{4}{1} =4\] \[\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{4}{x-2} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{4/x}{1-2/x} =\frac{0}{1-0} =0\]

выбор наибольшего и наименьшего значений среди вычисленных.

Наибольшее значение заданной функции на интервале $[3;+\infty )$: $y(3)=4$.

Наименьшее значение заданной функции на интервале $[3;+\infty )$: $y(+\infty )=0$.

Пример 5

Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции: $y=e^{x} $ на интервале $(-\infty ;+\infty )$.

Решение:

нахождение области определения заданной функции, проверка, является ли в рассматриваемый интервал подмножеством области определения;

Область определения заданной функции: $D_{y} =R$.

Рассматриваемый интервал является подмножеством области определения.

нахождение критических точек, содержащихся в рассматриваемом интервале;

Первая производная: $y'=(e^{x} )'=e^{x} $.

Производная на всей числовой прямой, следовательно, критических точек нет.

нахождение стационарных точек, содержащихся в рассматриваемом интервале;

Производная не обращается в ноль, следовательно, стационарных точек нет.

вычисление значений заданной функции в стационарных точках и в критических точках.

Нет вычислений, так как точки отсутствуют.

вычисление значений заданной функции на концах интервала;

\[\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } f(x)=e^{x} =e^{+\infty } =+\infty \] \[\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } f(x)=e^{x} =e^{-\infty } =\frac{1}{e^{+\infty } } =\frac{1}{+\infty } =0\]