Начнем с того, что на практике наибольший интерес применение производной представляет для нахождения наибольшего и наименьшего значений заданной функции.
При этом наибольшее и наименьшее значения заданной функции, как правило, разыскивается на некотором интервале, который является или всей областью определения заданной функции или ее некоторой частью. Различают несколько видов рассматриваемых интервалов:
- отрезок $[a;b]$;
- открытый интервал: $(a;b),(a;b],[a;b)$;
- бесконечный промежуток $(-\infty ;a),(-\infty ;a],(a;+\infty ),[a;+\infty ),(-\infty ;+\infty )$.
Функция $y=f(x)$, определенная и непрерывная на некотором отрезке, достигает на данном отрезке своих наибольшего и наименьшего значений.
Наибольшее значение заданной функции $y=f(x)$ на некотором промежутке $X$ - это такое значение функции, для которого выполняется неравенство $\forall x\in X,x\ne x_{0} :\, \, f(x)\le f(x_{0} )$. Обозначается следующим образом: $\mathop{\max }\limits_{x\in X} y=f(x_{0} )$.
Статья: Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Наименьшее значение заданной функции $y=f(x)$ на некотором промежутке $X$ - это такое значение функции, для которого выполняется неравенство $\forall x\in X,x\ne x_{0} :\, \, f(x)\ge f(x_{0} )$. Обозначается следующим образом: $\mathop{\min }\limits_{x\in X} y=f(x_{0} )$.
Другими словами:
- наибольшее значение заданной функции $y=f(x)$ -- это самое большое значение, принимаемое на рассматриваемом интервале при $x=x_{0} $;
- наименьшее значение заданной функции $y=f(x)$ -- это самое маленькое значение, принимаемое на рассматриваемом интервале при $x=x_{0} $.
При нахождении наибольшего и наименьшего значений заданной функции рассматриваются стационарные и критические точки.
Стационарная точка -- это значение аргумента $x$, при котором производная заданной функции $y=f(x)$ обращается в ноль, т.е. $f'(x)=0$.
Критическая точка -- это значение аргумента $x$, при котором производная заданной функции $y=f(x)$ не существует, однако сама функция в данной точке определена.
Найти стационарные точки заданной функции: $y=4x^{2} +4$.
Решение:
Первая производная: $y'=(4x^{2} +4)'=8x$
\[y'=0;\, \, \, \, 8x=0\Rightarrow x=0\]$x=0$ - стационарная точка
Найти критические точки заданной функции: $y=\frac{1}{x} $.
Решение:
Первая производная: $y'=\left(\frac{1}{x} \right)'=-\frac{1}{x^{2} } $
Производная не существует при $x=0$. Следовательно, $x=0$ - критическая точка.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения заданной функции на некотором отрезке:
- нахождение области определения заданной функции, проверка, содержится ли в области определения весь рассматриваемый отрезок;
- нахождение критических точек, содержащихся в рассматриваемом отрезке;
- нахождение стационарных точек, содержащихся в рассматриваемом отрезке;
- вычисление значений заданной функции в стационарных точках, в критических точках и на концах отрезка.
- выбор наибольшего и наименьшего значений среди вычисленных.
Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции: $y=4x^{2} +4$ на отрезке $[-1;2]$.
Решение:
-
Заданная функция определена на всей числовой прямой, следовательно, рассматриваемый отрезок содержится в области определения.
-
Первая производная: $y'=(4x^{2} +4)'=8x$
Производная существует во всех точках области определения, следовательно, критических точек нет.
-
$y'=0;\, \, \, \, 8x=0\Rightarrow x=0$. Следовательно, $x=0$ - стационарная точка (принадлежит отрезку)
-
Вычислим значения заданной функции в точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-1;x=2$.
- Вывод:
Наибольшее значение заданной функции на отрезке $[-1;2]$: $y(2)=20$.
Наименьшее значение заданной функции на отрезке $[-1;2]$: $y(0)=y(-1)=4$.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения заданной функции на некотором открытом или бесконечном интервале:
- нахождение области определения заданной функции, проверка, является ли в рассматриваемый интервал подмножеством области определения;
- нахождение критических точек, содержащихся в рассматриваемом интервале;
- нахождение стационарных точек, содержащихся в рассматриваемом интервале;
- вычисление значений заданной функции в стационарных точках и в критических точках.
- вычисление значений заданной функции на концах интервала;
- выбор наибольшего и наименьшего значений среди вычисленных.
Вычисление значений заданной функции на концах интервала зависит от вида рассматриваемого интервала. Если рассматриваемый интервал имеет вид:
$[a;b)$, то вычисляются значение заданной функции в точке $x=a$ и односторонний предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to b-0} f(x)$; $(a;b]$, то вычисляются значение заданной функции в точке $x=b$ и односторонний предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} f(x)$; $(a;b)$, то вычисляются односторонние пределы $\mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} f(x)$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to b-0} f(x)$; $[a;+\infty )$, то вычисляются значение заданной функции в точке $x=a$ и предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } f(x)$; $(a;+\infty )$, то вычисляются односторонний предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} f(x)$ и предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } f(x)$; $(-\infty ;b]$, то вычисляются значение заданной функции в точке $x=b$ и предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } f(x)$; $(-\infty ;b)$, то вычисляются односторонний предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to b-0} f(x)$ и предел $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } f(x)$; $(-\infty ;+\infty )$, то вычисляются пределы $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } f(x)$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } f(x)$. \end{enumerate}
Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции: $y=\frac{4}{x-2} $ на интервале $[3;+\infty )$.
Решение:
- нахождение области определения заданной функции, проверка, является ли в рассматриваемый интервал подмножеством области определения;
Область определения заданной функции: $D_{y} =\{ x\in R|x\ne 2\} $.
Рассматриваемый интервал является подмножеством области определения.
- нахождение критических точек, содержащихся в рассматриваемом интервале;
Первая производная: $y'=\left(\frac{4}{x-2} \right)'=\frac{0\cdot (x-2)-4\cdot 1}{(x-2)^{2} } =-\frac{4}{(x-2)^{2} } $.
Производная не существует в точке $x=2$ (критическая точка).
- нахождение стационарных точек, содержащихся в рассматриваемом интервале;
Производная не обращается в ноль, следовательно, стационарных точек нет.
- вычисление значений заданной функции в стационарных точках и в критических точках.
Нет вычислений, так как точки отсутствуют.
- вычисление значений заданной функции на концах интервала;
- выбор наибольшего и наименьшего значений среди вычисленных.
Наибольшее значение заданной функции на интервале $[3;+\infty )$: $y(3)=4$.
Наименьшее значение заданной функции на интервале $[3;+\infty )$: $y(+\infty )=0$.
Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции: $y=e^{x} $ на интервале $(-\infty ;+\infty )$.
Решение:
- нахождение области определения заданной функции, проверка, является ли в рассматриваемый интервал подмножеством области определения;
Область определения заданной функции: $D_{y} =R$.
Рассматриваемый интервал является подмножеством области определения.
- нахождение критических точек, содержащихся в рассматриваемом интервале;
Первая производная: $y'=(e^{x} )'=e^{x} $.
Производная на всей числовой прямой, следовательно, критических точек нет.
- нахождение стационарных точек, содержащихся в рассматриваемом интервале;
Производная не обращается в ноль, следовательно, стационарных точек нет.
- вычисление значений заданной функции в стационарных точках и в критических точках.
Нет вычислений, так как точки отсутствуют.
- вычисление значений заданной функции на концах интервала;
- выбор наибольшего и наименьшего значений среди вычисленных.
Наименьшее значение заданной функции на интервале $(-\infty ;+\infty )$: $y(-\infty )=0$.
Наибольшего значения нет.
