Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Применение производной к исследованию функций

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Применение производной к исследованию функций
Применение производной к исследованию функций

Одними из основных аспектов применения производной к исследованию функции являются: исследование функции на возрастание и убывание, исследование функций на выпуклость и вогнутость, нахождение точек экстремума функции, а также наибольшего и наименьшего значения функции. Рассмотрим их отдельно.

Экстремумы функции

Определение 1

Точки $x_0$ называются точками экстремума функции, если они являются точками максимума и минимума для функции $f(x)$.

Определение 2

$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:

1) $x_0$ - внутренняя точка области определения;

2) $f'(x_0)=0$ или не существует.

Для исследования функции на существование точек экстремума, мы будем использовать теорему о достаточных условиях существования экстремума:

Теорема 1

Достаточное условие экстремума

Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ производная $f'(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f'\left(x\right)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f'\left(x\right)

2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f'\left(x\right)0$, то точка $x_0$ - точка минимума для данной функции.

3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f'\left(x\right)>0$ или производная $f'\left(x\right)

Схема исследования функции на экстремум

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти производную $f'(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f'\left(x\right)=0$;

4) Найти точки, в которых $f'(x)$ не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.

Монотонность функции

Определение 3

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1

Определение 4

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.

Определение 5

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется неубывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1

Определение 6

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется невозрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1

Схема исследования функции на возрастание и убывание

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти производную $f'(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f'\left(x\right)=0$;

4) Найти точки, в которых $f'(x)$ не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать вывод: на промежутках, где $f'\left(x\right)0$ функция возрастает.

Наибольшее и наименьшее значение функции

Определение 7

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, достигает своего наибольшего значения, если существует точка $x_0\in X$, такая, что для всех $x\in X$ выполняется неравенство

\[f\left(x\right)\le f(x_0)\]
Определение 8

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, достигает своего наименьшего значения, если существует точка $x_0\in X$, такая, что для всех $x\in X$ выполняется неравенство

\[f\left(x\right)\ge f(x_0)\]

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$

1) Найти производную $f'(x)$;

2) Найти точки, в которых производная $f'\left(x\right)=0$;

3) Найти точки, в которых производная $f'(x)$ не существует;

4) Выбрать из полученных в пунктах 2 и 3 точек те, которые принадлежат отрезку $[a,b]$;

5) Вычислить значение функции в точках, полученных в пункте 4, а также на концах отрезка $[a,b]$;

6) Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее значение.

Выпуклость и вогнутость функции

Определение 9

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется выпуклой, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ выполняется неравенство

\[f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{{f(x}_1)+f(x_2)}{2}\]
Определение 10

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется вогнутой, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ выполняется неравенство

\[f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\ge \frac{{f(x}_1)+f(x_2)}{2}\]
Замечание 1

Если в определении выпуклости и вогнутости функции нестрогие знаки заменить на строгие, то мы получим, соответственно, определение строго выпуклой и строго вогнутой функции.

Схема исследования функции на возрастание и убывание

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти вторую производную $f''(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f''\left(x\right)=0$;

4) Найти точки, в которых $f''(x)$ не существует;

5) Определить знак производной $f''(x)$ на каждом получившемся промежутке;

6) Сделать вывод: на промежутках, где $f''\left(x\right)0$ функция вогнута.

Задачи на применение производной

Пример 1

Исследовать функцию на возрастание, убывание, выпуклость, вогнутость и наличие точек максимумов и минимумов:$f(x)=\frac{x^2-2x+1}{4}$

Решение:

1) Область определения - все действительные числа;

2) $f'\left(x\right)=\frac{2x-2}{4}=\frac{x-1}{2}$;

3) $f'\left(x\right)=0$;

\[\frac{x-1}{2}=0\] \[x=1\]

4) $f'(x)$ существует во всех точках области определения;

5) Координатная прямая:



Рисунок 1.

6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом промежутке:

\[f'\left(x\right) >0,\ при\ (1,+\infty )\] \[f'\left(x\right)7) Изобразим все на одном рисунке:



Рисунок 2.

Получаем:

Функция убывает, при $\left(-\infty ,1\right)$, функция возрастает, при $(1,+\infty )$.

Точка $x=1$ - точка минимума, точки максимума нет.

8) $f''\left(x\right)=\frac{1}{2}>0$

Функция вогнута на всей области определения.