Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Основные теоремы дифференциального исчисления

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Производная и дифференциал / Основные теоремы дифференциального исчисления
Основные теоремы дифференциального исчисления
Содержание статьи

Все теоремы дифференциального исчисления применяют свойство непрерывности функции на отрезке $[а, b]$ и дифференцируемости на интервале $(а, b)$.

Теорема Ролля

Теорема

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на $[а, b]$, дифференцируема в (а, b) и на концах отрезка принимает значения $f(a) = f(b)$. Тогда существует точка с принадлежащая $(а, b)$ и $f'(c) =0$.

Функция f(x)

Рисунок 1. Функция f(x)

Таким образом, теорема утверждает, что на графике существует такая точка, в которой касательная параллельна оси ОХ.

Доказательство

Поскольку функция непрерывна на отрезке $[а, b]$ она имеет наименьшее значение m и наибольшее значение М на данном промежутке.

Рассмотрим два возможных исхода. Пусть m = M. Тогда очевидно, что функция f(x)=const и ее производная равна 0 на всех точках заданного промежутка.

Если минимальное и максимальное значение не совпадают, т.е. $m ≠ M$ то функция принимает наименьшее или наибольшее значение только внутри интервала (а, b). Пусть в точке с принадлежащей отрезку $(а, b), f(c) = m$, тогда левая и правая производные имеют в данной точке конечную производную и равны между собой значению $f '(с)$.

\[f'(c)=\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0+0} \frac{f(c+\Delta x)-m}{\Delta x} \] \[f(c+\Delta x)\ge m\Rightarrow f(c+\Delta x)-m\ge 0, \Delta x>0\]

Следовательно,

\[\frac{f(c+\Delta x)-m}{\Delta x} \ge 0\]

По свойству пределов следует, что $f'(c)\ge 0$. Рассуждая аналогично, можно сделать вывод, что $f'(c)\le 0$. Но поскольку $f'_{-} (c)=f'_{+} (c)=f'_{} (c)$ то $f'_{} (c)=0$.

Пример 1

Показать, что функция

\[f(x)=x^{2} -3x+2\]

Удовлетворяет условиям теоремы Ролля на промежутке [1,2] и найти точку с принадлежащую данному отрезку, если $f'(c) = 0$.

Решение.

Функция дифференцируема на промежутке [1,2] и как слева, так и справа равна 0

$f(1) = f(2) = 0$

Найдем точку, в которой производная равна 0.

\[f'(x)=\left(x^{2} -3x+2\right)^{{'} } =2x-3\]

Из полученной производной выразим х

$2х -- 3 = 0$

$х = 1,5$

Т.е. точка, с в которой производная равна 0, равна 1,5

Теорема Лагранжа

Теорема

Если функция f(x) непрерывна на промежутке [а, b] и дифференцируема в (а, b), то найдется такая точка принадлежащая (а, b), в которой

\[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

График функции

Рисунок 2. График функции

Рассмотрим $\Delta $ABD: AD = b -- a, BD = f(b) -- f(a)

\[tg\alpha =\frac{BD}{AD} =\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

Теорема Лагранжа утверждает, что на графике функции y=f(x) найдется точка с, такая, что касательная в ней имеет угловой коэффициент

\[f'(c)=tg\alpha =\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

и будет параллельна секущей AB.

Пример 2

Проверить справедливость теоремы Лагранжа на отрезке [1,4] для функции

\[f(x)=x^{2} -3x+5\]

Решение.

Заданная квадратичная функция непрерывна и дифференцируема на всем множестве действительных чисел. Следовательно, к ней применима теорема Лагранжа. Производная функции имеет вид:

\[f'(x)=\left(x^{2} -3x+5\right)^{{'} } =2x-3\]

Найдем координаты точки с:

\[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \Rightarrow \frac{(4^{2} -3\cdot 4+5)-(1^{2} -3\cdot 1+5)}{4-1} =2,5\]

Найденная точка находится на интервале [1,4] а потому для функции справедлива теорема Лагранжа.

Теорема Коши

Теорема

Если две функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a. b] и дифференцируемы в (a, b), причем g `(x) ≠ 0в интервале (a, b), то существует точка c принадлежащая отрезку (a, b), такая что

\[\frac{f'(c)}{g'(c)} =\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]

Теорема доказывается аналогично теореме Лагранжа. Для этого достаточно рассмотреть вспомогательную функцию

\[\phi (x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} (g(x)-g(a))\]
Пример 3

Проверить, выполняется ли теорема Коши на отрезке [0, 1] для функций $f(x) = x2-1 и g(x) = x+2$

Решение.

Найдем значения функций на концах отрезка

\[f(0)=0^{2} -1=-1\] \[f(1)=1^{2} -1=0\] \[g(0)=0+2=2\] \[g(1)=1+2=3\]

Далее найдем производные этих функций:

\[f'(x)=2x\] \[g'(x)=1\]

По теореме Коши, существует точка с, удовлетворяющая условию:

\[\frac{2c}{1} =\frac{0+1}{3-2} \]

с = 0,5