Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Функции и способы задания функций / Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений

Квадратичная функция

Часто квадратичную функцию применяют при решении различных задач, которые сводятся к нахождению тех или иных наибольших или наименьших значений. Но перед рассмотрением таких задач стоит напомнить, какая функция является квадратичной и как найти наибольшее/наименьшее значение.

Определение 1

Функция, имеющая вид $y=ax^2+bx+c$, где $a$ не равняется нулю, называется квадратичной функцией.

График такой функции принято называть параболой. Отметим, что если $a >0$ то ее ветви будут направлены вверх и ее вершина будет принимать минимальное значение, а если $a

Наибольшее и наименьшее значение

Определение 2

Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наибольшее значение в точке $x'\in X$, если выполняется

\[f\left(x\right)\le f(x')\]

Готовые работы на аналогичную тему

Определение 3

Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наименьшее значение в точке $x'\in X$, если выполняется

\[f\left(x\right)\ge f(x')\]

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение заданной функции на каком либо отрезке необходимо произвести следующие действия:

  1. Найти $f'(x)$;
  2. Найти точки, в которых $f'\left(x\right)=0$;
  3. Найти точки, в которых $f'(x)$ не будет существовать;
  4. Выкинуть из точек, найденных в пунктах 2 и 3 те, которые не лежат в отрезке $[a,b]$;
  5. Вычислить значения в оставшихся точках и на концах $[a,b]$;
  6. Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.

Приведем пример на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значения на [0,6]:$f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$

Решение.

  1. $f'\left(x\right)=3x^2-6x-45$;
  2. $f'\left(x\right)=0$;

    \[3x^2-6x-45=0\] \[x^2-2x-15=0\] \[x=5,\ x=-3\]
  3. $f'(x)$ существует на всей $D(f)$;

  4. $5\in \left[0,6\right]$;
  5. Значения:

    \[f\left(0\right)=225\] \[f\left(5\right)=50\] \[f\left(6\right)=63\]
  6. Наибольшее значение равняется $225$, наименьшее равняется $50.$

Ответ: $max=225,\ min=50$.

Рассмотрим далее задачи на использование наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции.

Примеры задач

Пример 2

По перекрестным дорогам движутся два автомобиля в сторону перекрестка. Каждому автомобилю до перекрестка ехать по $50$ км. Автомобили движутся со скоростями $30$ и $40$ км/ч, соответственно. Найти, когда автомобили будут друг от друга на наименьшем расстоянии и на каком.

Решение.

Изобразим ситуацию на рисунке (рис. 1).



Рисунок 1.

Пусть наименьшее расстояние между автомобилями будет в момент времени $t$.

В это время одному автомобилю до перекрестка остается ехать

\[50-30t\ км\]

А второму

\[50-40t\ км\]

Расстояние между ними, по теореме Пифагора, будет равняться

\[S\left(t\right)={(50-30t)}^2+{(50-40t)}^2=2500-3000t+{900t}^2+2500-4000t+{1600t}^2={2500t}^2-7000t+5000\]

Найдем наименьшее значение такой функции

\[t=-\frac{b}{2a}=-\frac{-7000}{5000}=\frac{7}{5}=1,4\] \[S\left(t\right)=2500\cdot \frac{49}{25}-7000\cdot \frac{7}{5}+5000=4900-9800+5000=100\]

Ответ: $1$ ч $24$ мин, $100$ км.

Пример 3

Найти на графике функции $y=x+2$ точку, которая дает наименьшую сумму квадратов расстояний от него до точки $(8,0)$ и $(1,0)$.

Решение.

Рассмотрим рисунок:



Рисунок 2.

Обозначим абсциссу искомой точки через $x$. Точка искомая точка имеет вид $(x,x+1)$.

Найдем расстояние до точки $(8,0)$: $\sqrt{{(8-x)}^2+{(x+1)}^2}$

Найдем расстояние до точки $(1,0)$: $\sqrt{{(1-x)}^2+{(x+1)}^2}$

Получаем, сумма равна

\[S\left(x\right)={(8-x)}^2+{(x+1)}^2+{(1-x)}^2+{(x+1)}^2=64-16x+x^2+1+2x+x^2+1-2x+x^2+1+2x+x^2=4x^2+18x+67\]

Наименьшее значение

\[x=-\frac{18}{8}=-\frac{9}{4}=-2,25\] \[y=\frac{81}{4}-\frac{162}{4}+\frac{268}{4}=\frac{187}{4}=46,75\]

Ответ: $(-2,25;46,75)$

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис