Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Функции и способы задания функций / Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики
Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики

Функция $f(x)=x^2$

Определим для начала квадратичную функцию.

Определение 1

Функция, имеющая вид $y=ax^2+bx+c$, где $a$ не равняется нулю, называется квадратичной функцией.

Если теперь в определении 1 принять, что $a=1,\ \ b,c=0$ то мы и получим функцию вида $y=x^2$, которая интересует нас в этом пункте.

Исследуем и построим её график.

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. По определению квадрата любого действительного числа, получим $E\left(f\right)=[0,\infty )$
  3. $f\left(-x\right)={(-x)}^2=x^2=f(x)$. Следовательно, эта функция будет четной.
  4. При $x=0,\ y=0$. Значит начало координат принадлежит данной функции. Это единственная точка пересечения с координатными осями.
  5. $f'\left(x\right)={\left(x^2\right)}'=2x$

    \[2x=0,\] \[x=0\]

    Функция будет возрастать на промежутке $x\in (0,+\infty )$

    Функция будет убывать на промежутке $x\in (-\infty ,0)$

  6. $f^{''}\left(x\right)={\left(2x\right)}^{''}=2>0$.

    Функция будет вогнутой на всей $D(f)$.

  7. Значения на концах области определения.

    \[{\mathop{\lim }_{x\to -\infty } x^2\ }=+\infty \] \[{\mathop{\lim }_{x\to +\infty } x^2\ }=+\infty \]
  8. График данной функции называется параболой. Он изображен на рисунке 1.



    Рисунок 1.

Функция $f(x)=\frac{k}{x}$

По-другому функцию такого вида еще можно назвать функцией обратной пропорциональности. Введем ее определение.

Определение 2

Функция, имеющая вид $y=\frac{k}{x}$, где $k$ не равняется нулю и область определения исключает ноль, называется функцией обратной пропорциональности.

Исследуем и построим её график для двух различных случаев.

  1. $k >0$

    1. $D\left(f\right)=R$.
    2. Очевидно, что эта функция никогда не будет равняться нулю, следовательно, $\ E\left(f\right)=\left(-\infty ,0\right)\cup (0,\infty )$
    3. $f\left(-x\right)=\frac{k}{-x}=-\frac{k}{x}=-f(x)$. Следовательно, эта функция будет нечетной.
    4. Данная функция не имеет ни одной точки пересечения с координатными осями.
    5. $f'\left(x\right)={\left(\frac{k}{x}\right)}'=-\frac{k}{x^2}$

      \[-\frac{k}{x^2}=0-нет\ корней\]

      Функция убывает на всем промежутке области определения

    6. $f^{''}\left(x\right)={\left(-\frac{k}{x^2}\right)}^{''}=\frac{k}{x^3}$.

      Функция будет вогнутой на промежутке $x\in (0,\infty )$.

      Функция будет выпуклой на промежутке $x\in (-\infty ,0)$.

    7. Значения на концах области определения: при стремлении к отрицательной и положительной бесконечности функция будет стремиться к нулю.

      При приближении к нулю слева функция стремится к отрицательной бесконечности, а при приближении к нулю справа к положительной бесконечности.

    8. График данной функции называется гиперболой. Она изображена на рисунке 2.



      Рисунок 2.

  2. $k

    1. $D\left(f\right)=R$.
    2. Очевидно, что эта функция никогда не будет равняться нулю, следовательно, $\ E\left(f\right)=\left(-\infty ,0\right)\cup (0,\infty )$
    3. $f\left(-x\right)=\frac{k}{-x}=-\frac{k}{x}=-f(x)$. Следовательно, данная функция будет нечетной.
    4. Данная функция не имеет ни одной точки пересечения с координатными осями.
    5. $f'\left(x\right)={\left(\frac{k}{x}\right)}'=-\frac{k}{x^2}$

      \[-\frac{k}{x^2}=0-нет\ корней\]

      Функция возрастает на всем промежутке области определения

    6. $f^{''}\left(x\right)={\left(-\frac{k}{x^2}\right)}^{''}=\frac{k}{x^3}$.

      Функция будет выпуклой на промежутке $x\in (0,\infty )$.

      Функция будет вогнутой на промежутке $x\in (-\infty ,0)$.

    7. Значения на концах области определения: при стремлении к отрицательной и положительной бесконечности функция будет стремиться к нулю.

      При приближении к нулю справа функция стремится к отрицательной бесконечности, а при приближении к нулю слева к положительной бесконечности.

    8. Графиком данной функции называется гиперболой. Она изображена на рисунке 3.



      Рисунок 3.

Функция $f(x)=\frac{1}{x}$

Пример 1

Изобразить график функции $y=\frac{1}{x}$

Найдем ряд точек, принадлежащих данной функции.



Рисунок 4.

График имеет вид



Рисунок 5.

Отметим, что она обладает свойствами, найденными в пункте 1 для гипербол. Переписать эти свойства для данного графика предоставляем читателю самостоятельно.