Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики

Функция $f(x)=x^2$

Определим для начала квадратичную функцию.

Если теперь в определении 1 принять, что $a=1,\ \ b,c=0$ то мы и получим функцию вида $y=x^2$, которая интересует нас в этом пункте.

Исследуем и построим её график.

1. $D\left(f\right)=R$.
2. По определению квадрата любого действительного числа, получим $E\left(f\right)=[0,\infty )$
3. $f\left(-x\right)={(-x)}^2=x^2=f(x)$. Следовательно, эта функция будет четной.
4. При $x=0,\ y=0$. Значит начало координат принадлежит данной функции. Это единственная точка пересечения с координатными осями.

5. $f'\left(x\right)={\left(x^2\right)}'=2x$

   \[2x=0,\] \[x=0\]

   Функция будет возрастать на промежутке $x\in (0,+\infty )$

   Функция будет убывать на промежутке $x\in (-\infty ,0)$

6. $f^{''}\left(x\right)={\left(2x\right)}^{''}=2>0$.

   Функция будет вогнутой на всей $D(f)$.

7. Значения на концах области определения.

   \[{\mathop{\lim }_{x\to -\infty } x^2\ }=+\infty \] \[{\mathop{\lim }_{x\to +\infty } x^2\ }=+\infty \]

8. График данной функции называется параболой. Он изображен на рисунке 1.

   
   
   Рисунок 1.

Функция $f(x)=\frac{k}{x}$

По-другому функцию такого вида еще можно назвать функцией обратной пропорциональности. Введем ее определение.

Исследуем и построим её график для двух различных случаев.

1. $k >0$

   1. $D\left(f\right)=R$.
   2. Очевидно, что эта функция никогда не будет равняться нулю, следовательно, $\ E\left(f\right)=\left(-\infty ,0\right)\cup (0,\infty )$
   3. $f\left(-x\right)=\frac{k}{-x}=-\frac{k}{x}=-f(x)$. Следовательно, эта функция будет нечетной.
   4. Данная функция не имеет ни одной точки пересечения с координатными осями.

   5. $f'\left(x\right)={\left(\frac{k}{x}\right)}'=-\frac{k}{x^2}$

      \[-\frac{k}{x^2}=0-нет\ корней\]

      Функция убывает на всем промежутке области определения

   6. $f^{''}\left(x\right)={\left(-\frac{k}{x^2}\right)}^{''}=\frac{k}{x^3}$.

      Функция будет вогнутой на промежутке $x\in (0,\infty )$.

      Функция будет выпуклой на промежутке $x\in (-\infty ,0)$.

   7. Значения на концах области определения: при стремлении к отрицательной и положительной бесконечности функция будет стремиться к нулю.

      При приближении к нулю слева функция стремится к отрицательной бесконечности, а при приближении к нулю справа к положительной бесконечности.

   8. График данной функции называется гиперболой. Она изображена на рисунке 2.

      
      
      Рисунок 2.

2. $k

   1. $D\left(f\right)=R$.
   2. Очевидно, что эта функция никогда не будет равняться нулю, следовательно, $\ E\left(f\right)=\left(-\infty ,0\right)\cup (0,\infty )$
   3. $f\left(-x\right)=\frac{k}{-x}=-\frac{k}{x}=-f(x)$. Следовательно, данная функция будет нечетной.
   4. Данная функция не имеет ни одной точки пересечения с координатными осями.

   5. $f'\left(x\right)={\left(\frac{k}{x}\right)}'=-\frac{k}{x^2}$

      \[-\frac{k}{x^2}=0-нет\ корней\]

      Функция возрастает на всем промежутке области определения

   6. $f^{''}\left(x\right)={\left(-\frac{k}{x^2}\right)}^{''}=\frac{k}{x^3}$.

      Функция будет выпуклой на промежутке $x\in (0,\infty )$.

      Функция будет вогнутой на промежутке $x\in (-\infty ,0)$.

   7. Значения на концах области определения: при стремлении к отрицательной и положительной бесконечности функция будет стремиться к нулю.

      При приближении к нулю справа функция стремится к отрицательной бесконечности, а при приближении к нулю слева к положительной бесконечности.

   8. Графиком данной функции называется гиперболой. Она изображена на рисунке 3.

      
      
      Рисунок 3.

Функция $f(x)=\frac{1}{x}$