Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики

Все предметы / Математика / Функции и способы задания функций / Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики
Содержание статьи

Функция $f(x)=x^2$

Определим для начала квадратичную функцию.

Определение 1

Функция, имеющая вид $y=ax^2+bx+c$, где $a$ не равняется нулю, называется квадратичной функцией.

Если теперь в определении 1 принять, что $a=1,\ \ b,c=0$ то мы и получим функцию вида $y=x^2$, которая интересует нас в этом пункте.

Исследуем и построим её график.

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. По определению квадрата любого действительного числа, получим $E\left(f\right)=[0,\infty )$
  3. $f\left(-x\right)={(-x)}^2=x^2=f(x)$. Следовательно, эта функция будет четной.
  4. При $x=0,\ y=0$. Значит начало координат принадлежит данной функции. Это единственная точка пересечения с координатными осями.
  5. $f'\left(x\right)={\left(x^2\right)}'=2x$

    \[2x=0,\] \[x=0\]

    Функция будет возрастать на промежутке $x\in (0,+\infty )$

    Функция будет убывать на промежутке $x\in (-\infty ,0)$

  6. $f^{''}\left(x\right)={\left(2x\right)}^{''}=2>0$.

    Функция будет вогнутой на всей $D(f)$.

  7. Значения на концах области определения.

    \[{\mathop{\lim }_{x\to -\infty } x^2\ }=+\infty \] \[{\mathop{\lim }_{x\to +\infty } x^2\ }=+\infty \]
  8. График данной функции называется параболой. Он изображен на рисунке 1.



    Рисунок 1.

Функция $f(x)=\frac{k}{x}$

По-другому функцию такого вида еще можно назвать функцией обратной пропорциональности. Введем ее определение.

Определение 2

Функция, имеющая вид $y=\frac{k}{x}$, где $k$ не равняется нулю и область определения исключает ноль, называется функцией обратной пропорциональности.

Исследуем и построим её график для двух различных случаев.

  1. $k >0$

    1. $D\left(f\right)=R$.
    2. Очевидно, что эта функция никогда не будет равняться нулю, следовательно, $\ E\left(f\right)=\left(-\infty ,0\right)\cup (0,\infty )$
    3. $f\left(-x\right)=\frac{k}{-x}=-\frac{k}{x}=-f(x)$. Следовательно, эта функция будет нечетной.
    4. Данная функция не имеет ни одной точки пересечения с координатными осями.
    5. $f'\left(x\right)={\left(\frac{k}{x}\right)}'=-\frac{k}{x^2}$

      \[-\frac{k}{x^2}=0-нет\ корней\]

      Функция убывает на всем промежутке области определения

    6. $f^{''}\left(x\right)={\left(-\frac{k}{x^2}\right)}^{''}=\frac{k}{x^3}$.

      Функция будет вогнутой на промежутке $x\in (0,\infty )$.

      Функция будет выпуклой на промежутке $x\in (-\infty ,0)$.

    7. Значения на концах области определения: при стремлении к отрицательной и положительной бесконечности функция будет стремиться к нулю.

      При приближении к нулю слева функция стремится к отрицательной бесконечности, а при приближении к нулю справа к положительной бесконечности.

    8. График данной функции называется гиперболой. Она изображена на рисунке 2.



      Рисунок 2.

  2. $k

    1. $D\left(f\right)=R$.
    2. Очевидно, что эта функция никогда не будет равняться нулю, следовательно, $\ E\left(f\right)=\left(-\infty ,0\right)\cup (0,\infty )$
    3. $f\left(-x\right)=\frac{k}{-x}=-\frac{k}{x}=-f(x)$. Следовательно, данная функция будет нечетной.
    4. Данная функция не имеет ни одной точки пересечения с координатными осями.
    5. $f'\left(x\right)={\left(\frac{k}{x}\right)}'=-\frac{k}{x^2}$

      \[-\frac{k}{x^2}=0-нет\ корней\]

      Функция возрастает на всем промежутке области определения

    6. $f^{''}\left(x\right)={\left(-\frac{k}{x^2}\right)}^{''}=\frac{k}{x^3}$.

      Функция будет выпуклой на промежутке $x\in (0,\infty )$.

      Функция будет вогнутой на промежутке $x\in (-\infty ,0)$.

    7. Значения на концах области определения: при стремлении к отрицательной и положительной бесконечности функция будет стремиться к нулю.

      При приближении к нулю справа функция стремится к отрицательной бесконечности, а при приближении к нулю слева к положительной бесконечности.

    8. Графиком данной функции называется гиперболой. Она изображена на рисунке 3.



      Рисунок 3.

Функция $f(x)=\frac{1}{x}$

Пример 1

Изобразить график функции $y=\frac{1}{x}$

Найдем ряд точек, принадлежащих данной функции.



Рисунок 4.

График имеет вид



Рисунок 5.

Отметим, что она обладает свойствами, найденными в пункте 1 для гипербол. Переписать эти свойства для данного графика предоставляем читателю самостоятельно.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис