Вы будете перенаправлены на Автор24
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
Определим для начала квадратичную функцию.
Функция, имеющая вид $y=ax^2+bx+c$, где $a$ не равняется нулю, называется квадратичной функцией.
Если теперь в определении 1 принять, что $a=1,\ \ b,c=0$ то мы и получим функцию вида $y=x^2$, которая интересует нас в этом пункте.
Исследуем и построим её график.
$f'\left(x\right)={\left(x^2\right)}'=2x$
\[2x=0,\] \[x=0\]Функция будет возрастать на промежутке $x\in (0,+\infty )$
Функция будет убывать на промежутке $x\in (-\infty ,0)$
$f^{''}\left(x\right)={\left(2x\right)}^{''}=2>0$.
Функция будет вогнутой на всей $D(f)$.
Значения на концах области определения.
\[{\mathop{\lim }_{x\to -\infty } x^2\ }=+\infty \] \[{\mathop{\lim }_{x\to +\infty } x^2\ }=+\infty \]График данной функции называется параболой. Он изображен на рисунке 1.
Рисунок 1.
По-другому функцию такого вида еще можно назвать функцией обратной пропорциональности. Введем ее определение.
Функция, имеющая вид $y=\frac{k}{x}$, где $k$ не равняется нулю и область определения исключает ноль, называется функцией обратной пропорциональности.
Исследуем и построим её график для двух различных случаев.
$k >0$
$f'\left(x\right)={\left(\frac{k}{x}\right)}'=-\frac{k}{x^2}$
\[-\frac{k}{x^2}=0-нет\ корней\]Функция убывает на всем промежутке области определения
$f^{''}\left(x\right)={\left(-\frac{k}{x^2}\right)}^{''}=\frac{k}{x^3}$.
Функция будет вогнутой на промежутке $x\in (0,\infty )$.
Функция будет выпуклой на промежутке $x\in (-\infty ,0)$.
Значения на концах области определения: при стремлении к отрицательной и положительной бесконечности функция будет стремиться к нулю.
При приближении к нулю слева функция стремится к отрицательной бесконечности, а при приближении к нулю справа к положительной бесконечности.
График данной функции называется гиперболой. Она изображена на рисунке 2.
Рисунок 2.
$k
$f'\left(x\right)={\left(\frac{k}{x}\right)}'=-\frac{k}{x^2}$
\[-\frac{k}{x^2}=0-нет\ корней\]Функция возрастает на всем промежутке области определения
$f^{''}\left(x\right)={\left(-\frac{k}{x^2}\right)}^{''}=\frac{k}{x^3}$.
Функция будет выпуклой на промежутке $x\in (0,\infty )$.
Функция будет вогнутой на промежутке $x\in (-\infty ,0)$.
Значения на концах области определения: при стремлении к отрицательной и положительной бесконечности функция будет стремиться к нулю.
При приближении к нулю справа функция стремится к отрицательной бесконечности, а при приближении к нулю слева к положительной бесконечности.
Графиком данной функции называется гиперболой. Она изображена на рисунке 3.
Рисунок 3.
Изобразить график функции $y=\frac{1}{x}$
Найдем ряд точек, принадлежащих данной функции.
Рисунок 4.
График имеет вид
Рисунок 5.
Отметим, что она обладает свойствами, найденными в пункте 1 для гипербол. Переписать эти свойства для данного графика предоставляем читателю самостоятельно.