Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Производная от функции, заданной неявно

Все предметы / Математика / Функции нескольких переменных / Производная от функции, заданной неявно

Рассмотрим функцию, заданную уравнением

Определение 1

Если каждому $x$ значению независимой переменной из некоторой области ставится в соответствие одно или несколько значений $y$, которые удовлетворяют уравнению $F(x,y)=C$, то говорят, что данное уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций $y$ от одной переменной $x$ в данной области.

Теорема 1

Пусть непрерывная функция $y$ от переменной $x$ задана неявно уравнением вида

\[F(x,y)=C,\]

где $F(x,y),F'_{x} (x,y),F'_{y} (x,y)$ являются непрерывными функциями в некоторой области D, которая содержит точку $(x,y)$ с координатами, удовлетворяющими уравнению $F(x,y)=C$. Кроме того, $F'_{y} (x,y)\ne 0$.

Тогда данная функция $y$ от переменной $x$ имеет производную, которая определяется равенством

\[y'_{x} =\frac{F'_{x} (x,y)}{F'_{y} (x,y)} .\]
Пример 1

Вычислить производную от функции заданной неявно

\[x^{3} +3y^{2} -12=0.\]

Решение:

Из уравнения получаем, что

\[F(x,y)=x^{3} +3y^{2} -12.\]

Вычислим частные производные

$F'_{x} (x,y)=3x^{2} $ и $F'_{y} (x,y)=6y$.

Следовательно,

\[y'_{x} =\frac{F'_{x} (x,y)}{F'_{y} (x,y)} =\frac{3x^{2} }{6y} .\]
Пример 2

Вычислить производную от функции заданной неявно

\[\ln x^{3} +3y+2=0.\]

Решение:

Из уравнения получаем, что

\[F(x,y)=\ln x^{3} +3y+2.\]

Вычислим частные производные

$F'_{x} (x,y)=\frac{1}{x^{3} } \cdot 3x^{2} =\frac{3}{x} $ и $F'_{y} (x,y)=3$.

Следовательно,

\[y'_{x} =\frac{F'_{x} (x,y)}{F'_{y} (x,y)} =\frac{\frac{3}{x} }{3} =\frac{3}{3x} =\frac{1}{x} .\]

Рассмотрим функцию двух переменных, заданную уравнением

Определение 2

Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие одно или несколько значений $z$, которые удовлетворяют уравнению $F(x,y,z)=C$, то говорят, что данное уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций $z$ от двух переменных $(x,y)$ в данной области.

Готовые работы на аналогичную тему

Для функции двух переменных находим частные производные $\frac{\partial z}{\partial x} $ и $\frac{\partial z}{\partial y} $, причем при нахождении $\frac{\partial z}{\partial x} $ считаем $y$ постоянным, а при нахождении $\frac{\partial z}{\partial y} $ - $x$ постоянным.

Формулы для определения частных производных имеют вид:

$z'_{x} =-\frac{\frac{\partial F}{\partial x} }{\frac{\partial F}{\partial z} } $ и $z'_{y} =-\frac{\frac{\partial F}{\partial y} }{\frac{\partial F}{\partial z} } $.

Замечание 1

При определении частных производных считается, что $\frac{\partial F}{\partial z} \ne 0$.

Пример 3

Вычислить производную от функции заданной неявно

\[x^{3} +3y^{2} +12e^{z} -12=0.\]

Решение:

Из уравнения получаем, что

\[F(x,y,z)=x^{3} +3y^{2} +12e^{z} -12.\]

Вычислим частные производные

$F'_{x} (x,y,z)=3x^{2} $, $F'_{y} (x,y,z)=6y$ и $F'_{z} (x,y,z)=12e^{z} $.

Следовательно,

\[z'_{x} =\frac{3x^{2} }{12e^{z} } =\frac{x^{2} }{4e^{z} } , z'_{y} =\frac{6y}{12e^{z} } =\frac{y}{2e^{z} } .\]
Пример 4

Вычислить производную от функции заданной неявно

\[13y+2^{z} -12=0.\]

Решение:

Из уравнения получаем, что

\[F(x,y,z)=13y+2^{z} -12.\]

Вычислим частные производные

$F'_{x} (x,y,z)=0$, $F'_{y} (x,y,z)=13$ и $F'_{z} (x,y,z)=\frac{2^{z} }{\ln 2} $.

Следовательно,

\[z'_{x} =\frac{0}{\frac{2^{z} }{\ln 2} } =0, z'_{y} =\frac{13}{\frac{2^{z} }{\ln 2} } =\frac{12\ln 2}{2^{z} } .\]

Рассмотрим функцию двух переменных, заданную неявно уравнением

Для функции произвольного числа переменных находим частные производные $\frac{\partial z}{\partial x} $, $\frac{\partial z}{\partial y} $, $\frac{\partial z}{\partial z} $,... , причем при нахождении $\frac{\partial z}{\partial x} $ считаем $y$, $z$,..., постоянными при нахождении $\frac{\partial z}{\partial y} $ - $x$, $z$,... постоянным и т.д.

Формулы для определения частных производных имеют вид:

$t'_{x} =-\frac{\frac{\partial F}{\partial x} }{\frac{\partial F}{\partial t} } $, $t'_{y} =-\frac{\frac{\partial F}{\partial y} }{\frac{\partial F}{\partial t} } $, $t'_{z} =-\frac{\frac{\partial F}{\partial z} }{\frac{\partial F}{\partial t} } $, ...

Замечание 2

При определении частных производных считается, что $\frac{\partial F}{\partial t} \ne 0$.

Пример 5

Вычислить производную от функции заданной неявно

\[3x^{3} +3y^{2} +12e^{z} -\ln t-2=0.\]

Решение:

Из уравнения получаем, что

\[F(x,y,z,t)=3x^{3} +3y^{2} +12e^{z} -\ln t-2.\]

Вычислим частные производные

$F'_{x} (x,y,z,t)=9x^{2} $, $F'_{y} (x,y,z,t)=6y$, $F'_{z} (x,y,z,t)=12e^{z} $ и $F'_{t} (x,y,z,t)=-\frac{1}{t} $.

Следовательно,

\[z'_{x} =\frac{9x^{2} }{-\frac{1}{t} } =-9x^{2} t, z'_{y} =\frac{6y}{-\frac{1}{t} } =-6yt, z'_{z} =\frac{12e^{z} }{-\frac{1}{t} } =-12e^{z} t.\]
Пример 6

Вычислить производную от функции заданной неявно

\[x^{4} -3y^{2} +e^{z} =e^{t} +\ln 3.\]

Решение:

Из уравнения получаем, что

\[F(x,y,z,t)=x^{4} -3y^{2} +e^{z} -e^{t} -\ln 3.\]

Вычислим частные производные

$F'_{x} (x,y,z,t)=4x^{3} $, $F'_{y} (x,y,z,t)=-6y$, $F'_{z} (x,y,z,t)=e^{z} $ и $F'_{t} (x,y,z,t)=-e^{t} $.

Следовательно,

\[z'_{x} =\frac{4x^{3} }{-e^{t} } =-\frac{4x^{3} }{e^{t} } , z'_{y} =\frac{-6y}{-e^{t} } =\frac{6y}{e^{t} } , z'_{z} =\frac{e^{z} }{-e^{t} } =-\frac{e^{z} }{e^{t} } =-e^{z-t} .\]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис