Формирование поверхности в пространстве и задание ее определителя на чертеже

Лекция 3 Формирование поверхности в пространстве и задание ее определителя на чертеже Поверхность -множество положений движущейся линии или поверхности Определитель поверхности - это совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность в пространстве i Вращение прямой l вокруг оси i А l Ф (l, i) [V] Рис.3.1 а Перемещение прямой l по окружности с А c l Ф(с, l) [V] Рис.3.1 б Перемещение сферы  вдоль оси i i А Ф(, i) [F] Рис.3.1 в Перемещение прямой l вдоль прямой b l A b Ф(l, b) [F] Рис.3.1 г Точка принадлежит поверхности тогда, когда она лежит на какой-либо (характерной) линии этой поверхности. Линия принадлежит поверхности, если все ее точки совпадают с данной поверхностью. Алгоритм построения недостающих проекций точки ( по заданной ее одной проекции), принадлежащей поверхности, назовем «Точка поверхности». 1. Анализ возможности проведения на поверхности наиболее простой, с точки зрения построения, линии на чертеже. 2. Построение проекций этой линии, одна из которых проходит через заданную проекцию точки. 3. Нахождение недостающих проекций точки по принадлежности ее соответствующим построенным проекциям линии. Алгоритм построения недостающих проекций линии ( по заданной ее одной проекции), лежащей на поверхности, назовем «Линия поверхности». 1. Фиксация на данной линии начальной и конечной точек, точек – границ видимости относительно плоскостей проекций. Эти точки называют опорными. А также – нескольких промежуточных точек, чем их больше, тем точнее будет построена линия. 2. Построение недостающих проекций точек, принадлежащих поверхности, по ранее указанному алгоритму. 3. Объединение построенных точек в линию с учетом видимости. Плоскость Плоскость - множество точек, но любые три точки, не лежащие на одной прямой, задают плоскость z П2 П3 В А x С  П1 y Рис.3.2а  (A, B, C) B2 A2 C2 x B1 A1 C1 Рис.3.2 б  (А, а) А2 а2 х а1 А1 Рис.3.3 а   (а b) а2 А2 b2 х a1 А1 Рис.3.3 б b1  (a b) a2 b2 x a1 b1 Рис.3.3 в  (ABC) B2 A2 C2 x B1 C1 A1 Рис.3.3 г  (1, 2) 2 x x 1 Рис.3.3 д Положение плоскости относительно плоскостей проекций Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций называется плоскостью общего положения z П2 В2 А2 С2 х В3 В А А1 С3 С В1 С1 O П3 А3 П1 у Рис.3.4 а z В2 В3 А2 x Ах А3 С2 Сх С1 С3 Вх О В1 А1 y Рис.3.4 б y Проецирующие плоскости - плоскости, перпендикулярные одной плоскости проекций Плоскость перпендикулярная П1 горизонтально-проецирующая z П2  A2 a2 x b2 П3 a A b  = A1 = a1 = b1 П1 Рис.3.5 а y  (а  b)  П1     2 A2 b2 a2 x  A1=a1=b1 a1 = b1 - проекция-носитель (след-проекция) плоскости обладает собирательным свойством Рис.3.5 б Плоскость, перпендикулярная П2 фронтально-проецирующая z П2  2 = a2 = b2 b П3 a x  a1 b 1 П1 y Рис.3.6 а  (a  b)  П2    1 a2=b2  x a1 b1 Рис.3.6 б Плоскость, перпендикулярная П3 профильно-проецирующая z П2  A2 A3 A B2 x С2 П3 С3 С B A1 B3 3 С1 B1 П1 y Рис.3.7 а   ABC  3 z A2 А3 С3 С2 B3 B2 x А1 С1 B1 y Рис.3.7 б Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, т.е. параллельные третьей плоскости проекций системы трех взаимоперпендикулярных плоскостей плоскости уровня Плоскость, параллельная П1 горизонтальная плоскость уровня z П2 С2 A2 B 2 A С B x 0  A1 П1 П3 B1 С1 y Рис.3.8 а A2 В2 x A1 С2 z=const ( ABC) || П1 С1 В1 Н.В. ΔABC - натуральная величина  ΔABC Рис.3.8 б Плоскость, параллельная П2 фронтальная плоскость уровня П2 B2 С2 A2 П3  B x С A A1 П B 1 1 Рис.3.9 а С1 y  ( ABC)  B2 Н.В. С2 A2 y=const x A1 B1 Рис.3.9 б С1 Плоскость, параллельная П3профильная плоскость уровня z П2  A2 A3 A П3 B2 x С2 A1 П1 С B С1 B3 С3 B1 y Рис.3.10 а    C  z A2 A3 Н.В. ΔABC B2 x B3 С2 A1 С3 x=const С1 B1 y Рис.3.10 б Следы плоскости Прямые, по которым некоторая плоскость пересекает плоскости проекций, называются следами этой плоскости z П2 2  a2 N =N 2 A2 a b2 x M2 M'2 A b N1 M =M 1 A1 3 П3 a1 b1 1 П1 M' =M'1 y Рис.3.11 а  N =N2 A2 b2 x a2 M2 M`2 N1 X a1 A1 M =M1 b1 M`1=М` 1 Рис.3.11 б M = a  П1 М`= b  П1 M  M` =1 x  x N = b  П2  = 2 Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения в плоскости Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости, или если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости, и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости. 12 22 a2 b2 b1 a1 Σ (a||b); 12 1 a , 11  a1, 12  a2; 2 b, 21  b1, 22  b2 21 11 Рис.3.12 f2 22 l2 h2' h2 x 11 (hf); 12   f1 1 f, 12  f2, 11  f1 ; 21 1  h`, 12  h`2 , 11  h`1 h`|| h , h`2|| h2 , h`1 || h1 ; h1 2 h`, 22  h`2 , 21  h`1; 12 = h`. Рис.3.13 h1' B2 12 D2 C2 A2 x C1 A1 11 B1 D1 D  C Рис.3.14 Вывод: Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, расположенной в этой плоскости Главные прямые плоскости прямые, занимающие особое положение в плоскости горизонтали h плоскости - прямые, лежащие в этой плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций B2 12 x h2 C2   C h   С2  h2 | | x ; A2 h2  A2 B2 =12 ; C1 A1 11 h1 h2 = C212 ; 11  A1B1 ; C1  11 = C1 11 = B1 h1 . Рис.3.15 фронтали f плоскости - прямые, параллельные фронтальной плоскости проекций и принадлежащие данной плоскости 12 a2 22 b2 x a1  a || b); f2 b1 11 f f1 || x (на любом расстоянии от оси х); f1  a1 = 11; f1  b1= 21 ; f1 21 12  a2 , 22  b2 , 12 22 = 1222 = f2. Рис.3.16 Профильные прямые р плоскости - прямые, параллельные профильной плоскости проекций и принадлежащие данной плоскости Линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций – это прямые, лежащие в ней и перпендикулярные к ее горизонталям или к ее фронталям или к ее профильным прямым Определение наклона плоскости Σ к П1 - угол  Σ A 90° α A1 B h1° Рис.3.17 П1