Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Формулы параллелограмма, трапеции, квадрата, прямоугольника и ромба

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Геометрия / Формулы параллелограмма, трапеции, квадрата, прямоугольника и ромба

Понятие четырехугольника

Введем для начала понятие многоугольника вообще.

Определение 1

Многоугольником называется геометрическая фигура в плоскости, которая состоит из попарно соединенных между собой отрезков, соседние из которых не лежат на одной прямой.

При этом отрезки называются сторонами многоугольника, а их концы -- вершинами многоугольника.

Определение 2

Четырехугольником называется многоугольник, у которого $4$ вершины.

Четырехугольники могут быть выпуклыми и невыпуклыми.

Определение 3

Если четырехугольник всегда будет лежать по одну сторону от любой прямой, проходящей через его стороны, то он называется выпуклым (рис. 1).

Выпуклый четырехугольник

Рисунок 1. Выпуклый четырехугольник

Определение 4

Если четырехугольник лежит по разные стороны хотя бы одной прямой, проходящей через его стороны, то он называется невыпуклым (рис. 2).

Невыпуклый четырехугольник

Рисунок 2. Невыпуклый четырехугольник

Классическими примерами выпуклых четырехугольников являются квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб, параллелограмм. Рассмотрим далее эти фигуры по отдельности.

Параллелограмм

Определение 5

Параллелограмм -- это четырехугольник, в котором противоположные стороны параллельны между собой (рис. 3).

Параллелограмм

Рисунок 3. Параллелограмм

\[P=2(a+b)\] \[S=ah\] \[S=absin\alpha \]

Трапеция

Определение 6

Трапеция -- это четырехугольник, в котором две противоположные стороны параллельны между собой, а другие две противоположные стороны не параллельны между собой (рис. 4).

Трапеция

Рисунок 4. Трапеция

\[S=\frac{1}{2}(a+b)h\]

Готовые работы на аналогичную тему

Квадрат

Определение 7

Прямоугольник, у которого все его четыре стороны равны между собой, называется квадратом (рис. 5).

Квадрат

Рисунок 5. Квадрат

\[P=4a\] \[S=a^2\]

Прямоугольник

Определение 8

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, называется прямоугольником (рис. 6).

Прямоугольник

Рисунок 6. Прямоугольник

\[P=2(a+b)\] \[S=ab\]

Ромб

Определение 9

Параллелограмм, у которого все его четыре стороны равны между собой, называется ромбом (рис. 7).

Ромб

Рисунок 7. Ромб

\[P=4a\] \[S=ah\] \[S=a^2sin\alpha \]

Пример задачи

Пример 1

Найти площадь ромба, диагонали которого равняются $8$ см и $6$ см.

Решение.

Рассмотрим ромб $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$ (рис. 8).

Найдем его площадь по следующей формуле $S=a^2sin\alpha $.



Рисунок 8.

Так как диагонали ромб делятся пополам их точкой пересечения и перпендикулярны друг другу и являются биссектриссами, то $\triangle ABO$ -- прямоугольный с катетами, равными $3$ см и $4$ см. По теореме Пифагора

\[a^2=9+16\] \[a^2=25\] \[a=5\]

По определениям синуса и косинуса, имеем

\[sinBAO=\frac{BO}{AB}=\frac{3}{5}=0,6,\ \ cosBAO=\frac{AO}{AB}=\frac{4}{5}=0,8\ \]

Тогда

\[sin\alpha =2sinBAOcosBAO=2\cdot 0,6\cdot 0,8=0,96\] \[S=5^2\cdot 0,96=24\]

Ответ: $24.$

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис