Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник

Понятие многоугольника

Определение 1

Многоугольником называется геометрическая фигура в плоскости, которая состоит из попарно соединенных между собой отрезков, соседние из которых не лежат на одной прямой.

При этом отрезки называются сторонами многоугольника, а их концы - вершинами многоугольника.

Определение 2

$n$-угольником называется многоугольник, у которого $n$ вершин.

Виды многоугольников

Определение 3

Если многоугольник всегда будет лежать по одну сторону от любой прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется выпуклым (рис. 1).

Выпуклый многоугольник

Рисунок 1. Выпуклый многоугольник

Готовые работы на аналогичную тему

Определение 4

Если многоугольник лежит по разные стороны хотя бы одной прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется невыпуклым (рис. 2).

Невыпуклый многоугольник

Рисунок 2. Невыпуклый многоугольник

Сумма углов многоугольника

Введем теорему о сумме углов -угольника.

Теорема 1

Сумма углов выпуклого -угольника определяется следующим образом

\[(n-2)\cdot {180}^0\]

Доказательство.

Пусть нам дан выпуклый многоугольник $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Соединим его вершину $A_1$ со всеми другими вершинами данного многоугольника (рис. 3).



Рисунок 3.

При таком соединении мы получим $n-2$ треугольника. Просуммировав их углы мы получим сумму углов данного -угольника. Так как сумма углов треугольника равняется ${180}^0,$ получим, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле

\[(n-2)\cdot {180}^0\]

Теорема доказана.

Понятие четырехугольника

Используя определение $2$, легко ввести определение четырехугольника.

Определение 5

Четырехугольником называется многоугольник, у которого $4$ вершины (рис. 4).

Четырехугольник

Рисунок 4. Четырехугольник

Для четырехугольника аналогично определены понятия выпуклого четырехугольника и невыпуклого четырехугольника. Классическими примерами выпуклых четырехугольников являются квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб, параллелограмм (рис. 5).

Выпуклые четырехугольники

Рисунок 5. Выпуклые четырехугольники

Теорема 2

Сумма углов выпуклого четырехугольника равняется ${360}^0$

Доказательство.

По теореме $1$, мы знаем, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле

\[(n-2)\cdot {180}^0\]

Следовательно, сумма углов выпуклого четырехугольника равняется

\[\left(4-2\right)\cdot {180}^0={360}^0\]

Теорема доказана.

Примеры задач

Пример 1

Определить сумму углов выпуклого девятиугольника, семиугольника и двенадцатиугольника.

Решение.

Для решения будем пользоваться теоремой $1$. Получим:

Сумма углов выпуклого пятиугольника равняется

\[\left(5-2\right)\cdot {180}^0=3\cdot {180}^0={540}^0\]

Сумма углов выпуклого девятиугольника равняется

\[\left(9-2\right)\cdot {180}^0=7\cdot {180}^0={1260}^0\]

Сумма углов выпуклого двенадцатиугольника равняется

\[\left(12-2\right)\cdot {180}^0=10\cdot {180}^0={1800}^0\]
Пример 2

Сколько углов имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равняется ${1620}^0$.

Решение.

Используя формулу задачи $1$, имеем

\[\left(n-2\right)\cdot {180}^0={1620}^0\] \[n-2=9\] \[n=11\]

Ответ: $11$.