Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Геометрия / Соотношение между сторонами и углами треугольника / Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника
Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника

Предварительные сведения

Вначале рассмотрим непосредственно понятие треугольника.

Определение 1

Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).

Определение 2

Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершин, а также три стороны.

Теорема о сумме углов в треугольнике

Введем и докажем одну из основных теорем, связанную с треугольников, а именно теорему о сумме углов в треугольнике.

Теорема 1

Сумма углов в любом произвольном треугольнике равняется $180^\circ$.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $EGF$. Докажем, что сумма углов в этом треугольнике равняется $180^\circ$. Сделаем дополнительное построение: проведем прямую $XY||EG$ (рис. 2)

Так как прямые $XY$ и $EG$ параллельны, то $∠E=∠XFE$ как накрест лежащие при секущей $FE$, а $∠G=∠YFG$ как накрест лежащие при секущей $FG$

Угол $XFY$ будет развернутым, следовательно, равняется $180^\circ$.

Получим

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

Следовательно

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

Теорема доказана.

Теорема о внешнем угле треугольника

Еще одной теоремой о сумме углов для треугольника можно считать теорему о внешнем угле. Для начала введем это понятие.

Определение 4

Внешним углом треугольника будем называть такой угол, который будет смежным с каким-либо углом треугольника (рис. 3).

Угол $FGQ$ - внешний

Рассмотрим теперь непосредственно теорему.

Теорема 2

Внешний угол треугольника равняется сумме двух углов треугольника, которые не являются смежным для него.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник $EFG$. Пусть он имеет внешний угол треугольника $FGQ$ (рис. 3).

По теореме 1 ,будем иметь, что $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, следовательно,

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

Так как угол $FGQ$ внешний, то он смежен с углом $∠G$, тогда

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

Теорема доказана.

Пример задач

Пример 1

Найти все углы треугольника, если он является равносторонним.

Решение.

Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, то будем иметь, что и все углы в нем также равны между собой. Обозначим их градусные меры через $α$.

Тогда, по теореме 1 будем получать

$α+α+α=180^\circ$

$3α=180^\circ$

$α=60^\circ$

Ответ: все углы равняются по $60^\circ$.

Пример 2

Найти все углы равнобедренного треугольника, если один его угол равняется $100^\circ$.

Решение.

Введем следующие обозначения углов в равнобедренном треугольнике:

Так как нам не дано в условии, какой именно угол равняется $100^\circ$, то возможны два случая:

  1. Угол, равный $100^\circ$ - угол при основании треугольника.

    По теореме об углах при основании равнобедренного треугольника получим

    $∠2=∠3=100^\circ$

    Но тогда только их сумма будет больше, чем $180^\circ$, что противоречит условию теоремы 1. Значит, этот случай не имеет места.

  2. Угол, равный $100^\circ$ - угол между равными сторонами, то есть

    $∠1=100^\circ$

Так как треугольник равнобедренный, то $∠2=∠3$,

По теореме 1, получим

$∠1+∠2+∠3=180^\circ$

$2∠2+100^\circ=180^\circ$

$2∠2=80^\circ$

$∠2=40^\circ$

Ответ: $40^\circ$, $40^\circ$, $100^\circ$.

Пример 3

Найти угол $XZO$ на рисунке 4, если $∠XOZ=45^\circ$, а $∠Y=25^\circ$

Решение.

Так как у равнобедренного треугольника углы при основании равны, то получим, что $∠X=∠Y=25^\circ$

Из треугольника $XOZ$, по теореме 1, получим

$∠X+∠XOZ+∠XZO=180^\circ$

Тогда

$∠XZO=180^\circ-∠X-∠XOZ=180^\circ-25^\circ-45^\circ=110^\circ$

Ответ: $110^\circ$.

Пример 4

Найти угол $XOZ$ на рисунке 4, если $∠XZO=45^\circ$, а $∠Y=25^\circ$

Решение.

Так как у равнобедренного треугольника углы при основании равны, то получим, что $∠X=∠Y=25^\circ$

Из треугольника $XYZ$, по теореме 1, получим

$∠X+∠Y+∠Z=180^\circ$

$∠Z=180^\circ-∠X-∠Y=180^\circ-25^\circ-25^\circ=130^\circ$

$∠OZY=∠Z-∠XZO=130^\circ-45^\circ=85^\circ$

По теореме 2, получим

$∠XOZ=∠OZY+∠Y=85^\circ+25^\circ=110^\circ$

Ответ: $110^\circ$.