Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Средняя линия треугольника

8-800-775-03-30 support@author24.ru

Понятие средней линии треугольника

Введем понятие средней линии треугольника.

Определение 1

Средняя линия треугольника -- это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (Рис. 1).

Средняя линия треугольника

Рисунок 1. Средняя линия треугольника

Теорема о средней линии треугольника

Теорема 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.

Доказательство.

Пусть нам дан треугольник $ABC$. $MN$ - средняя линия (как на рисунке 2).

Иллюстрация теоремы 1

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Готовые работы на аналогичную тему

Так как $\frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{1}{2}$, то треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по второму признаку подобия треугольников. Значит

Также, отсюда следует, что $\angle A=\angle BMN$, значит $MN||AC$.

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о средней линии треугольника

Следствие 1: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении $2:1$ начиная с вершины.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его медианы. Так как медианы делят стороны пополам. Рассмотрим среднюю линию $A_1B_1$ (Рис. 3).

Иллюстрация следствия 1

Рисунок 3. Иллюстрация следствия 1

По теореме 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следовательно, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Значит треугольники $ABM$ и $A_1B_1M$ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда

Аналогично доказывается, что

Теорема доказана.

Следствие 2: Три средние линии треугольника делят его на 4 треугольника, подобных исходному треугольнику с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$ со средними линиями $A_1B_1,\ {\ A}_1C_1,\ B_1C_1$ (рис. 4)

Иллюстрация следствия 2

Рисунок 4. Иллюстрация следствия 2

Рассмотрим треугольник $A_1B_1C$. Так как $A_1B_1$ - средняя линия, то

Угол $C$ - общий угол этих треугольников. Следовательно, треугольники $A_1B_1C$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Аналогично доказывается, что треугольники $A_1C_1B$ и $ABC$, и треугольники $C_1B_1A$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Рассмотрим треугольник $A_1B_1C_1$. Так как $A_1B_1,\ {\ A}_1C_1,\ B_1C_1$ -- средние линии треугольника, то

Следовательно, по третьему признаку подобия треугольников, треугольники $A_1B_1C_1$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Теорема доказана.

Примеры задачи на понятие средней линии треугольника

Пример 1

Дан треугольник со сторонами $16$ см, $10$ см и $14$ см. Найти периметр треугольника, вершины которого лежат в серединах сторон данного треугольника.

Решение.

Так как вершины искомого треугольника лежат в серединах сторон данного треугольника, то его стороны -- средние линии исходного треугольника. По следствию 2, получим, что стороны искомого треугольника равны $8$ см, $5$ см и $7$ см.

\[P=8см+5см+7см=20\ см\]

Ответ: $20$ см.

Пример 2

Дан треугольник $ABC$. Точки $N\ и\ M$ -- середины сторон $BC$ и $AB$ соответственно (Рис. 5).



Рисунок 5.

Периметр треугольника $BMN=14$ см. Найти периметр треугольника $ABC$.

Решение.

Так как $N\ и\ M$ -- середины сторон $BC$ и $AB$, то $MN$ -- средняя линия. Значит

\[AB=2MB,\ BC=2BN\]

По теореме 1, $AC=2MN$. Получаем:

\[P_{ABC}=AB+BC+AC=2MB+2BN+2MN=2P_{BMN}=28\ см\]

Ответ: $28$ см.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис