Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Параллелограмм и трапеция

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Параллелограмм и трапеция

Предварительные сведения

Для начала разберемся с таким понятием, как четырехугольник.

Определение 1

Четырехугольником называется многоугольник, у которого $4$ вершины.

Четырехугольник имеет $4$ стороны, $4$ вершины и $4$ угла. Стороны, не имеющие общих вершин, называют противоположными сторона четырехугольника, в противном случае они называются смежными. Углы, не имеющие общих сторон, также называют смежными.

Рассмотрим далее подробно параллелограмм и трапецию.

Параллелограмм

Определение 2

Параллелограмм -- это четырехугольник, в котором противоположные стороны параллельны между собой (рис. 1).

Параллелограмм

Рисунок 1. Параллелограмм

Готовые работы на аналогичную тему

Параллелограмм имеет два основных свойства. Введем и докажем их.

Свойство 1: Противоположные стороны и углы параллелограмма равны, соответственно, между собой.

Доказательство.

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$. Проведем в нем диагональ $AC$ (рис. 2).



Рисунок 2.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и их секущую $AC$. Тогда

как накрест лежащие углы.

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $CB$ и их секущую $AC$. Тогда

как накрест лежащие углы.

Следовательно, $\angle A=\angle C$.

По $II$ признаку равенства треугольников,

так как $AC$ -- их общая сторона. Значит

Свойство доказано.

Свойство 2: Диагонали, проведенные в параллелограмме, делятся пополам их точкой пересечения.

Доказательство.

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $O$ (рис. 3).



Рисунок 3.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и их секущие $AC$ и $BD$. Тогда

как накрест лежащие углы.\textit{}

Так как, по свойству $1$, $AB=CD$, то, по II признаку равенства треугольников,

Следовательно,

Свойство доказано.

Трапеция

Определение 3

Трапеция -- это четырехугольник, в котором две противоположные стороны параллельны между собой, а другие две противоположные стороны не параллельны между собой (рис. 4).

Трапеция

Рисунок 4. Трапеция

При этом параллельные стороны называют основаниями трапеции, а две другие -- боковыми сторонами трапеции.

Выделяют следующие виды трапеций.

[Определение] Если у трапеции не параллельные (боковые) стороны равны между собой, то её называют равнобедренной. [/Определение]

Определение 4

Если у трапеции два один угол прямой, то её называют равнобедренной.

Определение 5

В отличных от определений $4$ и $5$ случаях, трапецию называют разнобокой (рис. 5).

Виды трапеций

Рисунок 5. Виды трапеций

Трапеция обладает следующим свойством.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ -- средняя линия этой трапеции (рис. 6).

Средняя линия трапеции

Рисунок 6. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}$

С другой стороны $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$

Сложим два последних равенства, получим

\[2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\]

Следовательно

\[\overrightarrow{MN}=\frac{\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}}{2}\]

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Пример задачи

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $17\ см$ и $19\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $50\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Сложим боковые стороны, получим $17\ см+19\ см=36\ см$

Значит, зная периметр равный $50\ см$, сумма оснований

\[50\ см-36\ см=14\ см\]

Следовательно, по теореме $1$, средняя линия равна $\frac{14\ см}{2}=7\ см$