Основные понятия
Прежде чем сформулировать теорему Фалеса и доказать её, напомним несколько ключевых определений геометрии:
- четырёхугольник;
- параллелограмм;
- трапеция.
Четырёхугольник имеет четыре вершины.
Параллелограмм - это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны друг другу. В параллелограмме равны противоположные стороны между собой и противоположные углы.
Трапеция - это такой четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны друг другу, а две другие противоположные стороны не параллельны друг другу.
В целях понимания, приведём примеры задач с параллелограммом и трапецией.
Задача. Найти углы параллелограмма $ABCD$, если $\angle A=73^{\circ}$.
Решение. Сделаем такой рисунок:
Рисунок 1. Параллелограмм. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На рисунке проведена прямая, параллельная $AB$ из вершины $B$. Угол, образованный вершиной $B$, проведённой прямой и стороной $BC$ равен $73^{\circ}$ как накрест лежащий относительно $\angle A$. По определению развернутого угла (развёрнутый угол равен $180^{\circ}$) получаем простые вычисления:
$\angle B=180-73=107^{\circ}$. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то $\angle C=\angle A=73^{\circ}, \angle D=\angle B=107^{\circ}$.
Ответ. $73^{\circ}, 73^{\circ}, 107^{\circ}, 107^{\circ}$.
Статья: Обобщённая теорема Фалеса
В примере выше можно было решить через свойство четырёхугольников о том, что сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ}$. Для этого нужно было бы дополнительно доказать, что параллелограмм - это выпуклый четырёхугольник. Этот простой вопрос останется читателю для размышлений на досуге.
Задача. Найти $\angle B$ и $\angle D$ в трапеции $ABCD$, если $\angle A = 47^{\circ}, \angle C = 108^{\circ}$.
Решение. Сделаем рисунок:
Рисунок 2. Трапеция. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На рисунке проведена прямая, параллельная $AB$ из вершины $B$. Угол, образованный вершиной $B$, проведённой прямой и стороной $BC$ равен $47^{\circ}$ как накрест лежащий относительно $\angle A$. По определению развернутого угла получаем простые вычисления: $\angle B=180-47=133^{\circ}$.
На рисунке также проведена прямая параллельно $CD$ из вершины $D$. Угол, образованный вершиной $D$, проведённой прямой и стороной $CD$ равен $108^{\circ}$ как накрест лежащий относительно $\angle С$. По определению развернутого угла получаем простые вычисления: $\angle B=180-108=72^{\circ}$.
Ответ. $133^{\circ}, 72^{\circ}$.
Как и в случае параллелограмма, данную задачу можно проверить, сложив все углы данной трапеции. Их сумма должна быть равна $360^{\circ}$. Можно убедиться, что сумма всех углов данной трапеции действительно равна $360$.
Владея ключевыми понятиями, можем перейти к теореме Фалеса и её доказательству.
Теорема Фалеса
Теорема названа в честь древнегреческого ученого Фалеса Милетского. Звучит она следующим образом:
Если последовательно отложить на прямой несколько равных друг другу отрезков и провести через их концы параллельные прямые, которые пересекают вторую проведённую прямую, то эти параллельные прямые отсекут на ней также равные отрезки.
Доказательство теоремы Фалеса
Докажем эту теорему.
Рассмотрим рисунок:
Рисунок 3. Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На прямой $a$ отложены следующие отрезки: $A_1 A_2, A_2 A_3, A_3 A_4,...$. Через эти отрезки проведены несколько параллельных прямых, пересекающих прямую $b$ в соответствующих точках $B_1,B_2,B_3,B_4,...$. Докажем, что отрезки $B_1 B_2, B_2 B_3, B_3 B_4,...$ равны между собой. Для начала упростим задачу и докажем следующее: $B_1 B_2 = B_2 B_3$.
На рисунке прямые $a$ и $b$ параллельны. Следовательно, $A_1 B_1 B_2 A_2$ и $A_2 B_2 B_3 A_3$ - параллелограммы. Это означает, что противоположные стороны параллелограммов равны, следовательно, $A_1 A_2 = B_1 B_2, A_2 A_3 = B_2 B_3$. И из $A_1 A_2=A_2 A_3$ следует, что $B_1 B_2= B_2 B_3$.
Есть и другой случай, когда прямые $a$ и $b$ не параллельны:
Рисунок 4. Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Проведём такую прямую $c$, которая параллельна $a$:
Рисунок 5. Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Прямая $c$ пересекает $A_2 B_2$ и $A_3 B_3$ соответственно в т. $C_1, C_2$. Так как $A_1 A_2=A_2 A_3$, то, по аналогии в предыдущем случае, $B_1 C_1 = C_1 C_2$.
Рассмотрим $\triangle C_2 B_1 B_3$. $C_1$ - середина $B_1 C_2$. $B_2 C_1$ параллельна $B_3 C_2$.
Проведём через точку $B_3$ такую прямую, которая параллельна $B_1 C_2$.
Рисунок 6. Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Точкой $D$ обозначено пересечение $B_2 C_1$ с проведённой прямой. Получаем параллелограмм $C_1 C_2 B_3 D$. Так как $C_1$ - середина $B_1 C_2$, а $C_1 C_2= B_3 D$ (как противоположные стороны параллелограмма), следовательно, $C_1 B_1 = B_3 D$.
Рассмотрим $\triangle C_1 B_1 B_2$ и $\triangle B_2 B_3 D$ Они равны согласно второму признаку равенства треугольников. То есть так как выполняются равенства $C_1 B_1 = B_3 D$, $\angle C_1 B_1 B_2 = \angle B_2 B_3 D$ и $\angle B_1 C_1 B_2=\angle B_2 D B_3$ (как лежащие накрест углы при пересечении параллельных прямых $B_1 C_2$ и $B_3 D$ секущими $B_1 B_3$ и $C_1 D$).
Следовательно, $B_1 B_2= B_2 B_3$.
Аналогично доказывается равенство $B_2 B_3=B_3 B_4$ и другие.
Таким образом, в данной статье мы полностью разобрали теорему Фалеса, произвели подробное её доказательство, фигурируя известными понятиями.
