Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Обобщённая теорема Фалеса

Все предметы / Математика / Обобщённая теорема Фалеса
Содержание статьи

Основные понятия

Прежде чем сформулировать теорему Фалеса и доказать её, напомним несколько ключевых определений геометрии:

  • четырёхугольник;
  • параллелограмм;
  • трапеция.

Четырёхугольник имеет четыре вершины.

Параллелограмм - это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны друг другу. В параллелограмме равны противоположные стороны между собой и противоположные углы.

Трапеция - это такой четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны друг другу, а две другие противоположные стороны не параллельны друг другу.

В целях понимания, приведём примеры задач с параллелограммом и трапецией.

Пример 1

Задача. Найти углы параллелограмма $ABCD$, если $\angle A=73^{\circ}$.

Решение. Сделаем такой рисунок:

Параллелограмм. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Параллелограмм. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На рисунке проведена прямая, параллельная $AB$ из вершины $B$. Угол, образованный вершиной $B$, проведённой прямой и стороной $BC$ равен $73^{\circ}$ как накрест лежащий относительно $\angle A$. По определению развернутого угла (развёрнутый угол равен $180^{\circ}$) получаем простые вычисления:

$\angle B=180-73=107^{\circ}$. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то $\angle C=\angle A=73^{\circ}, \angle D=\angle B=107^{\circ}$.

Ответ. $73^{\circ}, 73^{\circ}, 107^{\circ}, 107^{\circ}$.

В примере выше можно было решить через свойство четырёхугольников о том, что сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ}$. Для этого нужно было бы дополнительно доказать, что параллелограмм - это выпуклый четырёхугольник. Этот простой вопрос останется читателю для размышлений на досуге.

Пример 2

Задача. Найти $\angle B$ и $\angle D$ в трапеции $ABCD$, если $\angle A = 47^{\circ}, \angle C = 108^{\circ}$.

Решение. Сделаем рисунок:

Трапеция. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Трапеция. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На рисунке проведена прямая, параллельная $AB$ из вершины $B$. Угол, образованный вершиной $B$, проведённой прямой и стороной $BC$ равен $47^{\circ}$ как накрест лежащий относительно $\angle A$. По определению развернутого угла получаем простые вычисления: $\angle B=180-47=133^{\circ}$.

На рисунке также проведена прямая параллельно $CD$ из вершины $D$. Угол, образованный вершиной $D$, проведённой прямой и стороной $CD$ равен $108^{\circ}$ как накрест лежащий относительно $\angle С$. По определению развернутого угла получаем простые вычисления: $\angle B=180-108=72^{\circ}$.

Ответ. $133^{\circ}, 72^{\circ}$.

Готовые работы на аналогичную тему

Как и в случае параллелограмма, данную задачу можно проверить, сложив все углы данной трапеции. Их сумма должна быть равна $360^{\circ}$. Можно убедиться, что сумма всех углов данной трапеции действительно равна $360$.

Владея ключевыми понятиями, можем перейти к теореме Фалеса и её доказательству.

Теорема Фалеса

Теорема названа в честь древнегреческого ученого Фалеса Милетского. Звучит она следующим образом:

Теорема 1

Если последовательно отложить на прямой несколько равных друг другу отрезков и провести через их концы параллельные прямые, которые пересекают вторую проведённую прямую, то эти параллельные прямые отсекут на ней также равные отрезки.

Доказательство теоремы Фалеса

Докажем эту теорему.

Рассмотрим рисунок:

Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На прямой $a$ отложены следующие отрезки: $A_1 A_2, A_2 A_3, A_3 A_4,...$. Через эти отрезки проведены несколько параллельных прямых, пересекающих прямую $b$ в соответствующих точках $B_1,B_2,B_3,B_4,...$. Докажем, что отрезки $B_1 B_2, B_2 B_3, B_3 B_4,...$ равны между собой. Для начала упростим задачу и докажем следующее: $B_1 B_2 = B_2 B_3$.

На рисунке прямые $a$ и $b$ параллельны. Следовательно, $A_1 B_1 B_2 A_2$ и $A_2 B_2 B_3 A_3$ - параллелограммы. Это означает, что противоположные стороны параллелограммов равны, следовательно, $A_1 A_2 = B_1 B_2, A_2 A_3 = B_2 B_3$. И из $A_1 A_2=A_2 A_3$ следует, что $B_1 B_2= B_2 B_3$.

Есть и другой случай, когда прямые $a$ и $b$ не параллельны:

Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Проведём такую прямую $c$, которая параллельна $a$:

Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Прямая $c$ пересекает $A_2 B_2$ и $A_3 B_3$ соответственно в т. $C_1, C_2$. Так как $A_1 A_2=A_2 A_3$, то, по аналогии в предыдущем случае, $B_1 C_1 = C_1 C_2$.

Рассмотрим $\triangle C_2 B_1 B_3$. $C_1$ - середина $B_1 C_2$. $B_2 C_1$ параллельна $B_3 C_2$.

Проведём через точку $B_3$ такую прямую, которая параллельна $B_1 C_2$.

Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 6. Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Точкой $D$ обозначено пересечение $B_2 C_1$ с проведённой прямой. Получаем параллелограмм $C_1 C_2 B_3 D$. Так как $C_1$ - середина $B_1 C_2$, а $C_1 C_2= B_3 D$ (как противоположные стороны параллелограмма), следовательно, $C_1 B_1 = B_3 D$.

Рассмотрим $\triangle C_1 B_1 B_2$ и $\triangle B_2 B_3 D$ Они равны согласно второму признаку равенства треугольников. То есть так как выполняются равенства $C_1 B_1 = B_3 D$, $\angle C_1 B_1 B_2 = \angle B_2 B_3 D$ и $\angle B_1 C_1 B_2=\angle B_2 D B_3$ (как лежащие накрест углы при пересечении параллельных прямых $B_1 C_2$ и $B_3 D$ секущими $B_1 B_3$ и $C_1 D$).

Следовательно, $B_1 B_2= B_2 B_3$.

Аналогично доказывается равенство $B_2 B_3=B_3 B_4$ и другие.

Таким образом, в данной статье мы полностью разобрали теорему Фалеса, произвели подробное её доказательство, фигурируя известными понятиями.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис