Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Системы линейных уравнений

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений

Понятие системы линейных уравнений

Для того чтобы раскрыть данное понятие, рассмотрим следующую задачу.

Пример 1

Пусть имеется два числа. Если из первого числа вычесть удвоенное второе число, получим число $6$. Если же к утроенному первому числу прибавить удвоенное второе, то получим число $-6$. Найти эти два числа.

Для решения этой задачи обозначим первое число через $x$, а второе число через $y$.

Так как если из первого числа вычесть удвоенное второе число получим число $6$, то получим следующее уравнение:

\[x-2y=6\]

А так как если к утроенному первому числу прибавить удвоенное второе, то получим число $-6$, то имеем уравнение:

\[3x+2y=-6\]

Мы получили два разных линейных уравнений с двумя неизвестными. В этом случае для решения данной задачи мы имеем дело с решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Системы уравнений записываются следующим образом:



Рисунок 1.

Определение 1

Решением системы линейных уравнений называется такая пара чисел, которая является решением всех уравнений, входящих в данную систему.

Способы решения систем линейных уравнений

Существуют три способа решения систем линейных уравнений:

  1. Способ подстановки: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

  2. Способ сложения: в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

  3. Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Определение 2

Графиком линейного уравнения с двумя переменными является множество всех точек, которые является решением данного линейного уравнения.

Количество корней линейного уравнения

График каждого из уравнений является линейной функцией, а решение любой системы уравнений - пересечение графиков функции каждого из уравнений. Поэтому система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь либо одно решение (в случае, когда прямые пересекутся (рис. 2)) и не иметь решений совсем (если прямые параллельны друг другу(рис. 3))

Система имеет 1 решение

Рисунок 2. Система имеет 1 решение

Система решений не имеет

Рисунок 3. Система решений не имеет

В этой главе мы ограничимся нахождением решений систем уравнений графическим способом.

Пример решения задач на использование систем линейных уравнений

Пример 2

Дорешаем задачу 1.



Рисунок 4.

Вначале выразим переменные $y$ через $x$:



Рисунок 5.

Изобразим решение:



Рисунок 6.

Ответ: $0$ и $-3$.

Пример 3

Составить систему уравнений для данной задачи: Пусть даны два числа. Если второе число умножить на два, то оно будет на $1$ больше первого. Сумма чисел равна $45$. Найти данные числа.

Решение:

Для решения этой задачи обозначим первое число через $x$, а второе число через $y$.

Так как сумма чисел равна $45$, то первое уравнение имеет вид $x+y=45$.

Так как если второе число умножить на два, то оно будет на $1$ больше первого, то второе уравнение имеет вид $2y-x=1$.

Получаем систему:



Рисунок 7.