Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Линейные уравнения с двумя переменными и их системы

Все предметы / Математика / Системы линейных уравнений / Линейные уравнения с двумя переменными и их системы

Линейные уравнения с двумя переменными

Определение 1

Уравнение вида $ax+by=c$, где $x\ и\ y$ - неизвестные переменные, а $a,\ b\ и\ c$ - некоторые числа, причем $a\ и\ b$ отличны от нуля, называется линейным уравнением с двумя переменными.

Пример 1

$4x+2y=4$ - линейное уравнение с двумя переменными.

Определение 2

Пара чисел называется решением линейного уравнения с двумя переменными, если при их подстановке в уравнение получается верное равенство.

Пример 2

Пара чисел $(1,\ \ 2)$ является решением линейного уравнения $2x+y=4$.

Свойства линейных уравнений с двумя переменными:

  1. К уравнению можно прибавлять с обоих сторон и вычитать из обоих сторон одно и тоже число.

  2. Уравнение можно умножать и делить с обоих сторон на одно и тоже, отличное от нуля, число.

Пример 3

Уравнения

\[2x+y=4\] \[2x+y+1=5\] \[3(2x+y+1)=15\]

являются равносильными.

График линейного уравнения с двумя переменными

Определение 3

Графиком линейного уравнения с двумя переменными является множество всех точек, которые является решением данного линейного уравнения.

Пример 4

Построим график линейного уравнения $2x-y=-3$

Для этого сначала выразим переменную $y$ через $x$:

\[y=2x+3\]

Видим, что мы получили уравнение линейной функции.

Найдем две точки, принадлежащие данной функции. Пусть $x=1$, тогда $y=5$. Пусть $x=-1$, тогда $y=1$. Проведем прямую через точки $\left(-1,1\right)\ и\ (1,\ 5)$. Получим



Рисунок 1.

Готовые работы на аналогичную тему

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Определение 4

Системой линейных уравнений с двумя переменными называется такая система уравнений, которая в своем составе имеет два и более линейных уравнений с двумя переменными.

Определение 5

Решением системы линейных уравнений называется такая пара чисел, которая является решением всех уравнений, входящих в данную систему.

В дальнейшем будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя переменными.



Рисунок 2.

Как мы уже знаем, график каждого из данных уравнений является линейной функцией, а решение любой системы уравнений - пересечение графиков функции каждого из уравнений. Поэтому система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь либо одно решение (в случае, когда прямые пересекутся (рис. 3)) и не иметь решений совсем (если прямые параллельны друг другу(рис. 4))

Система имеет 1 решение

Рисунок 3. Система имеет 1 решение

Система решений не имеет

Рисунок 4. Система решений не имеет

Пример решения задачи с использованием понятия линейных уравнений с двумя переменными

Пример 5

Найти графическое решение уравнения $x-y=1$

Решение:

Вначале выразим переменную $y$ через $x$:

\[y=x-1\]

Видим, что мы получили уравнение линейной функции.

Найдем две точки, принадлежащие данной функции. Пусть $x=1$, тогда $y=0$. Пусть $x=0$, тогда $y=-1$. Проведем прямую через точки $\left(1,0\right)\ и\ (0,\ -1)$. Получим



Рисунок 5.

Это и есть графический вид решения системы с двумя переменными.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис