Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Линейные неравенства с двумя переменными и их системы

Все предметы / Математика / Системы линейных уравнений / Линейные неравенства с двумя переменными и их системы

Линейные неравенства с двумя переменными

Определение 1

Неравенства вида $ax+by\le ()c$, где $x\ и\ y$ - неизвестные переменные, а $a,\ b\ и\ c$ - некоторые числа, причем $a\ и\ b$ отличны от нуля, называются линейными неравенствами с двумя переменными.

Пример 1

$x-2y\ge 4$ - линейное неравенство с двумя переменными.

Определение 2

Пара чисел называется решением линейного неравенства с двумя переменными, если при их подстановке в уравнение получается верное равенство.

Пример 2

Пара чисел $(1,\ \ 1)$ является решением линейного неравенства $2x-y

Свойства линейных неравенств с двумя переменными:

  1. К неравенству можно прибавлять с обоих сторон и вычитать из обоих сторон одно и тоже число.

  2. Неравенство можно умножать и делить с обоих сторон на одно и тоже, отличное от нуля, число, причем при умножении (делении на положительное число уравнение не меняет знак, а при умножение (деление) на отрицательное число меняет знак на противоположный.

Пример 3

Неравенства

\[2x+y >3\] \[2x+y+1 >4\] \[-2\left(2x+y+1\right)являются равносильными.

График линейного неравенства с двумя переменными

Определение 3

Графиком линейного неравенства с двумя переменными является множество всех точек, которые является решением данного линейного неравенства.

Пример 4

Построим график линейного неравенства $2x-y\ge -3$

Для этого сначала выразим переменную $y$ через $x$:

\[-y\ge -3-2x\] \[y\le 2x+3\]

Вначале построим прямую $y=2x+3$

Найдем две точки, принадлежащие данной функции. Пусть $x=1$, тогда $y=5$. Пусть $x=-1$, тогда $y=1$. Проведем прямую через точки $\left(-1,1\right)\ и\ (1,\ 5)$. Получим следующее решение (отмечено серым цветом):



Рисунок 1.

!!! Отметим здесь, что если бы знак был $"больше"$ (без равенства), то сама прямая $y=2x+3$ не входила бы в решение.

Готовые работы на аналогичную тему

Системы линейных неравенств с двумя переменными

Определение 4

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Определение 5

Решением системы линейных неравенств называется такая пара чисел, которая является решением всех неравенств, входящих в данную систему.

В дальнейшем будем рассматривать системы из двух линейных неравенств с двумя переменными.

Решением системы двух неравенств является пересечение графических решений каждого неравенства по отдельности.

Рисунок 2: Красным цветом - решение первого неравенства, зеленым -- решение второго неравенства.

Рисунок 3: Серым выделено общее решение системы двух неравенств.

Решение двух неравенств

Рисунок 2. Решение двух неравенств

Решение системы линейных неравенств

Рисунок 3. Решение системы линейных неравенств

Пример решения задачи с использованием понятия линейных уравнений с двумя переменными

Пример 5

Найти графическое решение неравенства $x-y

Решение:

Вначале выразим переменную $y$ через $x$:

\[-yx-1\]

Изобразим график уравнения $y=x-1$

Найдем две точки, принадлежащие данной функции. Пусть $x=1$, тогда $y=0$. Пусть $x=0$, тогда $y=-1$. Проведем прямую через точки $\left(1,0\right)\ и\ (0,\ -1)$. Получим следующее решение:



Рисунок 4.

Это и есть графический вид решения системы неравенств с двумя переменными.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис