Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Решение неравенств

Все предметы / Математика / Решение неравенств

Неравенства с переменными

Определение 1

Если в любом выражении неравенства присутствует переменная, то такое неравенство называется неравенством с переменными.

Количество переменных в неравенстве определяет его тип по их числу: неравенство с одной, двумя, тремя и т.д. переменными.

Неравенства с одной переменной

Определение 2

Неравенство с одной переменной – неравенство, в записи которого присутствует одна переменная.

Пример 1

$y

$x^2-15

Замечание 1

Переменная в записи неравенства может использоваться больше одного раза.

Пример 2

$\frac{x^7}{3}+\frac{8}{x^4}

Неравенства с двумя переменными

Определение 3

Неравенство с двумя переменными – неравенство, в записи которого содержится две разные переменные.

Пример 3

$\frac{4(a+3b)}{\sqrt{a}-b} > 1+\frac{a^2}{b-5}$ – неравенство с двумя переменными $a$ и $b$.

Замечание 2

Подобным образом можно дать определение неравенствам с тремя, четырьмя и более переменными.

Решение неравенств

Замечание 3

Решение неравенства с одной переменной представляет собой значение переменной, при котором исходное неравенство обращается в правильное числовое неравенство.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 4

Определить, является ли $a=11$ и $a=7$ решениями неравенства $a^2>100$.

Решение.

Подставим значение переменной $a=11$ в исходное неравенство вместо переменной $а$.

Получим числовое неравенство $121>100$ – правильное числовое неравенство. Таким образом, $11$ согласно определению и есть решение неравенства $a^2>100$.

Подставим значение переменной $a=7$ в исходное неравенство вместо переменной $а$.

Получим числовое неравенство $49>100$ – неправильное числовое неравенство. Таким образом, $7$ согласно определению не будет решением неравенства $a^2>100$.

При нахождении решений неравенства с одной переменной можно получить четыре возможных случая:

  1. Неравенство не имеет решений.
  2. Неравенство имеет единственное решение.
  3. Неравенство имеет конечное количество решений.
  4. Неравенство имеет бесконечное количество решений.
Пример 5
  1. Неравенство $a^4
  2. Неравенство $\sqrt{x+13} \le 0$ имеет единственное решение $x=-13$, т.к. арифметический корень меньше нуля быть не может по определению.
  3. Неравенство $|y^2-9| \le 0$ имеет конечное количество решений, т.е. таких решений два: $y=-3$ и $y=3$.
  4. Неравенство $a

Решение неравенства с двумя переменными – пара значений данных переменных, которые обращают исходное неравенство в правильное числовое неравенство.

Пример 6

Рассмотрим неравенство с двумя переменными $a$ и $b$:

$a+5

Пара значений переменных $a=2$, $b=20$ – решение данного неравенства, т.к., подставив их значения в неравенство, получим правильное числовое неравенство $2+5

Пара значений переменных $а=5$, $y=8$ не является решением данного неравенства, т.к., подставив их значения в неравенство, получим неправильное числовое неравенство $5+5

Пары значений переменных принято записывать в скобках наподобие координат точек в декартовой системе координат. Для вышерассмотренного примера решением неравенства $a+5

Частное и общее решение неравенства

Определение 4

Частным решением неравенства является одно из решений данного неравенства.

Пример 7

$x=8$ – одно из частных решений неравенства $2+x>3$. Другими частными решениями данного неравенства будут значения $x=2$, $х=7,8$ и т.д.

Определение 5

Общее решение неравенства – множество всех возможных частных решений данного неравенства.

Пример 8

Общим решением неравенства $2,1+x>3$ будет множество всех действительных чисел, больших $0,9$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис