Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Решение целых рациональных неравенств

Все предметы / Математика / Решение целых рациональных неравенств

Предварительные сведения

Определение 1

Неравенство вида $f(x) >( ≥)g(x)$, в котором $f(x)$ и $g(x)$ будут являться целыми рациональными выражениями, называется целым рациональным неравенством.

Примерами целых рациональных неравенств являются линейные, квадратные, кубические неравенства с двумя переменными.

Определение 2

Значение $x$, при котором выполняется неравенство из определения $1$, называется корнем уравнения.

Пример решения таких неравенств:

Пример 1

Решить целое неравенство $4x+3 >38-x$.

Решение.

Упростим данное неравенство:

$4x+x >38-3$

$5x >35$

Получили линейное неравенство. Найдем его решение:

$x >7$

Ответ: $(7,∞)$.

В данной статье мы рассмотрим следующие способы решения целых рациональных неравенств.

Способ разложения на множители

Данный способ будет заключаться в следующем: Записывается уравнение вида $f(x)=g(x)$. Данное уравнение приводится к виду $φ(x)=0$ (где $φ(x)=f(x)-g(x)$). Затем функция $φ(x)$ раскладывается на множители с минимально возможными степенями. Применяется правило: Произведение многочленов равняется нулю, когда один из них равняется нулю. Далее найденные корни отмечаются на числовой прямой и строится кривая знаков. В зависимости от знака начального неравенства записывается ответ.

Приведем примеры решения этим способом:

Пример 2

Решить разложением на множители. $y^2-9

Решение.

Решим уравнение $y^2-9

Используя формулу разности квадратов, имеем

$(y-3)(y+3)=0$

Используя правило равенства нулю произведения множителей, получим следующие корни: $3$ и $-3$.

Изобразим кривую знаков:

Так как в начальном неравенстве знак «меньше», то получаем

Ответ: $(-3,3)$.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 3

Решить разложением на множители.

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

Решение.

Решим следующее уравнение:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

Вынесем за скобки общие множители из первых двух слагаемым и из последних двух

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

Вынесем общий множитель $(x^2+3)$

$(x^2+3)(x+2)=0$

Используя правило равенства нулю произведения множителей, получим:

$x+2=0 \ и \ x^2+3=0$

$x=-2$ и "корней нет"

Изобразим кривую знаков:

Так как в начальном неравенстве знак «больше или равно», то получаем

Ответ: $(-∞,-2]$.

Способ введения новой переменной

Такой способ состоит в следующем: Записывается уравнение вида $f(x)=g(x)$. Решаем его следующим образом: введем такую новую переменную, чтобы получить уравнение, способ решения которого уже известен. Его, впоследствии, решаем и возвращаемся к замене. Из нее и найдем решение первого уравнения. Далее найденные корни отмечаются на числовой прямой и строится кривая знаков. В зависимости от знака начального неравенства записывается ответ.

Приведем пример применения этого способа на примере неравенства четвертой степени:

Пример 4

Решим неравенство.

$x^4+4x^2-21 >0$

Решение.

Решим уравнение:

$x^4+4x^2-21=0$

Сделаем следующую замену:

Пусть $x^2=u (где \ u >0)$, получаем:

$u^2+4u-21=0$

Будем решать эту систему с помощью дискриминанта:

$D=16+84=100=10^2$

Уравнение имеет два корня:

$x=\frac{-4-10}{2}=-7$ и $x=\frac{-4+10}{2}=3$

Вернемся к замене:

$x^2=-7$ и $x^2=3$

Первое уравнение не имеет решений, а из второго $x=\sqrt{3}$ и $x=-\sqrt{3}$

Изобразим кривую знаков:

Так как в начальном неравенстве знак «больше», то получаем

Ответ: $(-∞,-\sqrt{3})∪(\sqrt{3},∞)$

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис